В алгебре существует немало способов, позволяющих сократить длинные вычисления до нескольких простых шагов. Эти приемы особенно полезны при работе с многочленами: они помогают быстро возводить их в степень (в квадрат, куб и другие), перемножать и раскладывать на множители. В этой статье мы познакомимся с основными алгебраическими тождествами — квадратами суммы и разности, кубами суммы и разности, суммой и разностью кубов — и разберем их применение в математике. Вы увидите, как они упрощают умножение чисел, возведение в куб и решение различных задач, включая задачи на доказательства и решение уравнений.
Как читать формулы сокращенного умножения
Доказательство формул сокращенного умножения
Для доказательства достаточно раскрыть скобки и привести подобные.
Разность квадратов можно доказать и с помощью остроумного геометрического доказательства.
Если из квадрата со стороной a вырезать квадрат со стороной b, то легко сделать вывод, что площадь оставшейся фигуры будет равна разности квадратов:
a2 – b2 = b (a – b) + a (a – b) = (a – b) (a + b).
Дополнительные формулы сокращенного умножения
Кроме основных семи ФСУ, полезно помнить еще несколько тождеств. Они немного сложнее, чем, например, квадрат суммы, квадрат разности или куб суммы, но их знание сильно облегчает работу на контрольных и экзаменах и ускоряет решение математических уравнений.
Бином Ньютона
Любая целая неотрицательная степень суммы двух величин раскладывается на слагаемые следующим образом:
(a + b)n = C0n • an + C1n• an-1 • b + C2n• an-2• b2 +…+ Ckn• an-k• bk +… + Cnn • bn
Числа Ckn (биномиальные коэффициенты) рассчитываются так:
Либо можно воспользоваться треугольником Паскаля.
|
|
|
|
|
| 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
| 1 |
| 1 |
|
|
|
|
|
|
|
| 1 |
| 2 |
| 1 |
|
|
|
|
|
| 1 |
| 3 |
| 3 |
| 1 |
|
|
|
| 1 |
| 4 |
| 6 |
| 4 |
| 1 |
|
| 1 |
| 5 |
| 10 |
| 10 |
| 5 |
| 1 |
Возведение в квадрат суммы трех, четырех и более слагаемых
Возведение в квадрат произвольного числа слагаемых тоже часто оказывается очень полезным. Формула довольно длинная, но на самом деле очень простая: нужно сложить все квадраты каждого слагаемого, а также удвоенные произведения всех возможных парных комбинаций.
(a1 + a2 +…+ an)2 = a12 + a22 +…+ an2 + 2a1a2 + 2a1a3 + …+ 2a1an + 2a2a3 + 2a2a4 +…+ 2a2an +…+2an-1an.
Формула разности n-ых степеней двух слагаемых
Здесь все похоже на a2 – b2, но чуть сложнее:
an - bn = (a – b) (an-1 + an-2b + an-3b2 +…+abn-2 + bn-1).
Запомнить легко: во второй скобке у одного сомножителя степени каждый раз понижаются на единицу, а у другого повышаются.
Решение задач на формулы
Рассмотрим следующие примеры.
№1. Разложите многочлен: 25x4 – 9.
Решение:
Представляем как a2 – b2:
25x4 – 9 = (5x2)2 – 32 = (5x2 – 3) (5x2 + 3).
Ответ: (5x2 – 3) (5x2 + 3).
№2. Упростите выражение: (а + 5)2 – (а – 5) (а + 5).
Решение:
Раскрываем скобки: (а + 5)2 – (а – 5) (а + 5) = а2 + 10а + 25 - а2 + 25 = 10а + 50.
Ответ: 10а + 50.
№3. Найдите значение выражения: 822 – 812.
Решение:
Пользуемся тождеством a2 – b2 = (a – b) (a + b) и выполняем вычисления: 822 – 812 = (82 – 81) (82 + 81) = 1 • 163 = 163.
Ответ: 163.
№4. Разложите: 27а3 – 8.
Решение:
Перед нами вычитание третьих степеней: 27а3 – 8 = (3а)3 – 23 = (3а – 2)((3а)2 + 3а • 2 + 22) = (3а – 2)(9а2 + 6а + 4).
Ответ: (3а – 2)(9а2 + 6а + 4).
№5. При каких значениях m значение алгебраического выражения (m + 1)2 – m2 будет четным?
Решение:
Разложим, как разность a2 – b2:
(m + 1)2 – m2 = (m + 1 – m) (m + 1 + m) = 2m + 1. Выражение 2m + 1 может быть только нечетным при любом значении m.
Ответ: таких значений не существует, выражение (m + 1)2 – m2 всегда нечетное при любом целом m.
№6. Разложите: 64а3 + 8.
Решение:
Представляем слагаемые как кубы и пользуемся разложением суммы кубов:
64а3 + 8 = (4а)3 + 13 = (4а + 1) ((4а)2 – 4а • 1 + 12) = (4а + 1) (16а2 – 4а + 1).
