Параллелограмм: свойства и признаки

Изучение параллелограммов в рамках школьной программы начинается в седьмом классе. Эта геометрическая фигура выглядит очень простой, но у нее немало интересных свойств. Их знание необходимо как для дальнейшего изучения геометрии, так и для успешной сдачи ЕГЭ. Свойства и признаки параллелограмма достаточно очевидны, поэтому запоминаются легко.

Эта статья посвящена всестороннему рассмотрению параллелограмма: мы сформулируем его определение, перечислим свойства и признаки, приведем формулы для вычисления площади и периметра, решим несколько типовых задач.

Определение можно сформулировать следующим образом: четырехугольник, у которого противоположные стороны попарно параллельны, является параллелограммом.

Попарная параллельность означает, что противоположные стороны являются отрезками параллельных прямых. Продолжения этих сторон никогда не пересекутся.

Три четырехугольника, являющихся частными случаями параллелограмма, имеют собственные названия:

• прямоугольник — все углы прямые;
• ромб — все стороны имеют одинаковую длину;
• квадрат — прямоугольник, у которого все стороны равны.

Очевидно, что для квадрата подходят три названия: параллелограмм, прямоугольник, ромб. 

В учебниках и научной литературе прошлого века можно встретить термин «ромбоид». Так назывался параллелограмм, не являющийся ни ромбом, ни прямоугольником.

Вершинами параллелограмма называются четыре точки, в которых сходятся его стороны. Традиционно их обозначают заглавными латинскими буквами (например, A, B, C, D), последовательно обходя геометрическую фигуру по или против часовой стрелки. Но жестких правил для этого нет, и каждый может выбирать такие обозначения, какие сочтет нужным.

Диагональ параллелограмма — отрезок, соединяющий две его противоположные вершины.

Свойства параллелограмма

Свойство 1. Равенство длин противоположных сторон.

Если MNOP — параллелограмм, то MN = OP и PM = NO.

Доказательство:

По определению, MN || OP и PM || NO. При этом углы ∠P и ∠N — накрест лежащие, следовательно, они имеют одинаковые величины.

Треугольники △PMО и △ОNM имеют общую сторону МО, ∠Р = ∠N, а также ∠О = ∠М (тоже накрест лежащие). Таким образом, у треугольников совпадают одна сторона и два угла (итого — три элемента), следовательно, они равны — △PMО ≅ △ОNM, поэтому MN = OP и PM = NO.

Свойство 2. Равенство величин противоположных углов параллелограмма.

∠Р = ∠N и ∠М = ∠О.

Доказательство:

При пересечении параллельных прямых МР и NO прямой, содержащей диагональ PN, углы ∠MPN и ∠PNO будут равны как внутренние накрест лежащие. Аналогичное рассуждение доказывает равенство углов ∠ОPN и ∠МNP.

Так как ∠Р = ∠MPО = ∠MPN + ∠NPО и ∠N = ∠PNO = ∠МNP + ∠PNО, то для углов параллелограмма получаем, что углы ∠Р = ∠N. Аналогично доказывается равенство углов ∠М = ∠О.

Свойство 3. Деление диагоналей параллелограмма точкой пересечения пополам.

Если диагонали параллелограмма МN и МО пересекаются в точке Q, то МQ = QN и МQ = QО.

Доказательство:

У параллелограмма диагонали, пересекаясь, разбивают его на четыре треугольника. рассмотрим △PQM и △NQO. Для них (по уже доказанным свойствам) справедливо MP = NO, а также углы ∠MPQ = ∠QNO и ∠PMQ = ∠QON (как накрест лежащие). Следовательно, эти треугольники равны, поэтому для диагоналей параллелограмма справедливо: МQ = QN и МQ = QО.

Свойство 4. Диагональ параллелограмма разбивает его на два конгруэнтных (равных) треугольника: △PMN = △PNO.

Доказательство:

Сторона PN является общей для обоих треугольников. Одновременно с этим имеется равенство отрезков MN = PO, PM = NO, так как это противоположные стороны параллелограмма. Следовательно, △PMN ≅ △PNO.

Свойство 5. Сумма углов, прилегающих к одной стороне, равна 180°: ∠MPO + ∠NOP = 180°.

Доказательство:

Рассмотрим углы ∠MPO и ∠NOR. Прямые PM и ON параллельны друг другу, поэтому углы ∠NOR и ∠MPR равны друг другу. Углы ∠MPO и ∠MPR в сумме образуют развернутый угол, равный 180°. Следовательно, ∠MPO + ∠NOP = 180°.

Признаки параллелограмма

Признак 1. Четырёхугольник является параллелограммом, если сумма каждой пары соседних углов составляет 180°: ∠P + ∠M = ∠N + ∠O = 180°.

Доказательство:

Докажем параллельность PO и MN.

Рассмотрим стороны PO, MN и секущую PM.
Углы ∠P и ∠M — внутренние односторонние при прямых PO, MN и секущей PM.

По условию для углов выполняется: ∠P +∠M=180°.

Согласно известному в геометрии признаку параллельности прямых, гласящему: если сумма внутренних односторонних углов при секущей равна 180°, то прямые параллельны, — получаем:

PO∥MN.

Параллельность сторон PM и NO доказывается аналогично.

Признак 2. Четырёхугольник является параллелограммом, если его противолежащие углы соответственно равны.

Доказательство:

Пусть в четырехугольнике MNPO попарно совпадают значения следующих углов: ∠P = ∠N, ∠M = ∠O.

Нам известно, что в произвольном четырехугольнике сумма четырех внутренних углов равна полному углу (360°). Следовательно, можем записать:

∠P + ∠N + ∠M + ∠O = 360°.

Воспользуемся исходными равенствами ∠P = ∠N, ∠M = ∠O и запишем:

∠P + ∠N + ∠M + ∠O = ∠P + ∠P + ∠M + ∠M = 2∠P + 2∠M = 360°.

∠P + ∠N = 180°.

Аналогично ∠M + ∠O = 180°.

Таким образом, углы ∠P, ∠N и ∠M, ∠O — односторонние, а PO ||MN, PM||NO, поэтому MNPO — параллелограмм.

Признак 3. Попарное равенство противоположных сторон означает, что четырехугольник — параллелограмм.

Доказательство:

Пусть PM = NO, MN = OP. Тогда △PMO и △MNO будут равны. Отсюда следует равенство углов ∠P = ∠N, ∠M = ∠O. Это доказывает, что MNPO — параллелограмм.

Признак 4. Равенство и параллельность двух сторон четырехугольника означает, что этот четырехугольник — параллелограмм.

Доказательство:

Пусть PM = NO, PM || NO. Проанализируем треугольники △PMN и △PNO. Сторона PN у них общая, и к тому же PM = NO по условию. Углы ∠PNO и ∠NPM будут одинаковыми как накрест лежащие при параллельных PM || NO. Поэтому △PMN ≅ △PNO. Отсюда немедленно следует равенство углов ∠MNP = ∠NPO. Но если накрест лежащие углы при секущей равны, значит, прямая MN || PO. Таким образом, MNPO — параллелограмм.

Признак 5. Если точка пересечения диагоналей делит их на равные половины, то такой четырехугольник — параллелограмм.

Доказательство:

Пусть PQ = QN, MQ = QO. Проанализируем треугольники △PQM и △OQN. По условию точка Q делит диагонали на равные отрезки, поэтому для сторон этих треугольников выполняются равенства PQ = QN, MQ = QO. Углы ∠PQM и ∠OQN равны друг другу как вертикальные. У треугольников совпадают три элемента, поэтому △PQM ≅ △OQN.

Аналогично доказывается, что △MNQ ≅ △POQ. Отсюда следует, что PM = NO, PM || NO, MN = PO, MN || PO. Следовательно, MNPO — параллелограмм.

Периметр параллелограмма

Пусть m и n — длины противоположных сторон параллелограмма MNPO.

Упрощенная формула выглядит следующим образом:

P = 2m + 2n = 2(m + n).

Площадь параллелограмма

Для расчета площади есть несколько формул.

1. Через длины основания (m) и высоты (h).

S = m ⋅ h.

1. Через длины сторон и синус угла между ними.

S = m ⋅ n ⋅ sin⁡(α).

Биссектриса параллелограмма

Биссектрисы обладают рядом интересных и полезных для решения задач свойств.

1. Если PR — биссектриса, то треугольник PMR — равнобедренный.

Доказательство:

PM || NO, поэтому для углов справедливо ∠MPR = ∠RPO = PRM. В треугольнике △MPR есть два одинаковых угла, следовательно, он равнобедренный: MP = MR.

2. Если провести биссектрисы двух соседних углов, то они пересекутся под углом 90°.

Доказательство:

Пусть Q — точка пересечения биссектрис PR и MS соседних углов параллелограмма MNPO. Для этих углов справедливо: ∠MPО + ∠PMN = 180° (так как они смежные). При этом ∠MPR = 0,5 ⋅ ∠MPО, ∠PMS = 0,5 ⋅ ∠PMN.

Поэтому ∠MPR + ∠PMS = 0,5 ⋅ (∠MPО + ∠PMN) = 0,5 ⋅ 180 = 90°.

Таким образом, ∠MQP = 180 - (∠MPR + ∠PMS) = 90°.

Следовательно, в параллелограмме биссектрисы PR и MS пересекаются под прямым углом.

3. Биссектрисы противоположных углов параллельны друг другу, а их отрезки имеют одинаковую длину: PR = NT, PR || NT.

Доказательство:

Согласно доказанному выше, треугольники △PMR и △ NTO являются равнобедренными и равными. Поэтому PR = NT. А так как ∠MRP = ∠TNO = ∠MNT, то они еще и параллельны.

Типовые задачи

Подобные задания часто встречаются на ЕГЭ.

№1. В параллелограмме MNOP известны длины MN = 10 см, NO = 3 см. Найти периметр Р.

Решение:

Р = 2 ∙ (MN + NO) = 2 ∙ (10 + 3) = 26 см.

№2. В MNOP известны стороны MN = 5 см, NO = 10 см и один из углов параллелограмма ∠M = 30°. Найти площадь MNOP.

Решение:

S = MN ⋅ NO ⋅ sin⁡(M).

S = 5 ⋅ 10 ⋅ sin⁡(30°) = 50 ⋅ 0,5 = 25 кв. см.

№3. Точка Q — пересечение диагоналей параллелограмма MNOP. Длины диагоналей известны: PN = 8 см, MO = 10 см. Чему равны длины PQ и MQ?

Решение:

Так как диагонали, пересекаясь, делятся пополам, мы можем вычислить:

PQ = 0,5 ⋅ PN = 0,5 ⋅ 8 = 4 см.

MQ = 0,5 ⋅ MO = 0,5 ⋅ 10 = 5 см.

№4. В MNOP известна сторона MN = 8 см и опущенная на нее высота h = 3 см. Найти площадь MNOP.

Решение:

Сразу воспользуемся формулой:

S = MN ⋅ h = 8 ⋅ 4 = 32 кв. см.