График линейной функции, его свойства и формулы

Линейная функция — одна из основных элементарных функций математики. Существует бесконечное количество различных линейных функций, и график любой из них обязательно будет иметь вид прямой линии. То есть, каждая линейная функция описывает прямую линию.

Понятие функции

Функция — одно из главных понятий математики. Оно выражает зависимость между переменными величинами. Строго говоря, функцией называется правило, ставящее в соответствие каждому элементу одного множества ровно один элемент другого множества. Например, каждой длине радиуса соответствует своя длина окружности.

Существуют следующие способы задания функций:

• словесный — правило сопоставления значений функции аргументу формулируется с помощью обычных слов;
• табличный — значения представляются в виде таблицы;
• аналитический — с помощью математической формулы;
• графический — изображается график зависимости.

Основные элементы функции: аргумент (независимая переменная), значение функции (зависимая переменная), область определения (множество допустимых значений аргумента), область значений (множество значений зависимой переменной), график (множество точек с координатами (х; у), где х — значение аргумента, а у — значение функции).

Понятие линейной функции

Функция вида y = kx + b называется линейной. Здесь х — аргумент; k, b — числа (числовые коэффициенты). Множитель при аргументе — k — называется угловым коэффициентом прямой; число b — свободный член.

Имея перед глазами аналитически заданную линейную функцию (то есть формулу), можно легко определить значения k и b.

Коэффициент b можно представить себе как длину отрезка, который прямая отсекает на оси ординат (OY).

Свойства линейной функции

Основные свойства следующие:

1. Область определения совпадает с множеством действительных чисел.
2. Множество значений при k ≠ 0 совпадает с множеством действительных чисел. При k = 0 множество значений содержит только одно число, равное b.
3. Графиком является прямая линия. При k > 0 прямая наклонена вправо, при k < 0 — влево, при k = 0 прямая параллельна оси абсцисс (ОХ).
4. Линейная функция не ограничена — она не имеет наименьшего или наибольшего значений.
5. Непериодична.
6. Четность зависит от значений коэффициентов.

7. (-b/k; 0) — точка пересечения линейных функций с осью абсцисс ОХ.
8. (0; b) — точка пересечения линейных функций с осью ординат ОY.
9. Линейная функция является монотонно возрастающей при k > 0 и монотонно убывающей при k < 0 на всей области определения.
10. Если значение коэффициента k > 0, то график линейной функции образует острый угол с положительным направлением оси ОХ, а при k < 0 — тупой. Если значение k = 0, прямая параллельна ОХ.

Линейная функция вида y = kx называется прямой пропорциональностью. Ее график обязательно проходит через начало координат (0; 0).

Построение линейной функции

Чтобы построить график линейной функции, достаточно знать координаты всего двух ее точек. Для этого х придают два разных значения и вычисляют соответствующие y.

Например, начертим график линейной функции y = 0,5x + 1. Сначала определим координаты каких-нибудь двух точек прямой. Для х можно брать любые числа.

Для х = 2 имеем: у = 0,5 • 2 + 1 = 2.

Для х = -2 имеем: у = 0,5 • (-2) + 1 = 0.

Ставим точки (2; 2) и (-2; 0) и приступаем к построению графика функции y = 0,5x + 1. Проводим прямую через эти точки.

Угловой коэффициент k отвечает за наклон прямой, а свободный член b — за сдвиг по оси ОY. Продемонстрируем это на примерах.

Начертим графики функций:

• y = x + 4;
• y = 2x + 4;
• y = -2x + 4.

На рисунке хорошо видно, что благодаря одинаковому свободному члену (b = 4) каждая из прямых проходит через точку (0; 4), но из-за разных угловых коэффициентов (k₁ = 1; k₂ = 2; k₃ = -2) все они имеют разный наклон.

Теперь нарисуем графики линейных функций, имеющих одинаковые значения k, но разные b:

• y = 0,5x;
• y = 0,5x + 3;
• y = 0,5x - 3.

Теперь все прямые параллельны друг другу и пересекают оси координат в разных точках.

Пример неявно заданной линейной функции

Явная линейная функция задается формулой вида y = kx + b. При этом переменная y (зависимая) явно выражается через переменную х (независимая, аргумент).

В случае неявной функции зависимая переменная (у) не выражается через аргумент (х) в явном виде. При этом формула, задающая функцию, имеет вид уравнения с двумя переменными, в котором зависимая переменная является членом математических действий.

Приведем несколько характерных примеров неявной линейной функции:

• 2у = х;
• 3у + 2х = 4;
• 5(у – 2х) = 0;
• 2х + 4у = 8.

Для построения графика линейных неявных функций можно пользоваться двумя способами. Нужно либо свести функцию к явной (то есть выразить у), либо найти точки пересечения с осями координат. Продемонстрируем это на примерах.

Пример 1. Начертить график линейной функции, заданной неявно:

2у – 2х = -4.

Решение

Выразим из уравнения y в явном виде:

• 2у = 2х – 4;
• у = х – 2.

Находим координаты двух точек для построения.

Пусть х = -3, тогда у = -3 – 2 = -7. Точка (-3; -5).

Пусть х = 4, тогда у = 4 – 2 = 2. Точка (4; 2).

Строим прямую.

Пример 2. Построить график линейной функции, заданной неявно: 2у + 4х = 8.

Решение

Ищем координаты точек пересечения с осями.

Пусть х = 0. Соответствующее значение у будет:

• 2у + 4 • 0 = 8;
• 2у = 8;
• у = 4.

Первая точка (0; 4).

Теперь пусть у = 0. Соответствующее значение х будет:

• 2 • 0 + 4х = 8;
• 4х = 8;
• х = 2.

Вторая точка (2; 0).

Строим график.

Что такое угловой коэффициент

Строго говоря, угловой коэффициент в формуле линейной функции представляет собой тангенс угла наклона между данной прямой и осью абсцисс ОХ.

Это значит, что если выделить на данной прямой отрезок и построить на нем прямоугольный треугольник так, чтобы этот отрезок являлся гипотенузой, то значение |k| будет равно отношению длины катета, параллельного ОY, к длине катета, параллельного ОХ.

Это свойство можно использовать для построения графика прямой. Например, построим график для у = 0,25х + 2.

Сначала находим координаты какой-нибудь точки. Возьмем х = 0, тогда у = 0,25 • 0 + 2 = 2. Получаем точку (0; 2). Ставим ее на координатной плоскости. Далее рисуем прямоугольный треугольник так, чтобы один его катет был параллелен ОХ, а другой — ОY. При этом первый катет должен быть в 4 раза длиннее, чем второй — тогда отношение их длин будет равно 0,25. Хорошо подходят длины 8 и 2. Осталось только провести прямую.

Следует помнить, что если при k = 0 линейная функция имеет вид у = b, график — прямая, параллельная ОХ.

График прямой, параллельной OY, описывается формулой х = с (где с — некоторое число). Но эта зависимость не является функцией, так как одному значению х (х = с) соответствует бесконечное количество значений у.

Интересно отметить, что если значение k очень велико, то прямая будет выглядеть почти вертикальной, но при этом останется функцией. Так, график функции y = 10000000000000000000 • х - 10000000000000000000 и вертикальной прямой х = 1 практически совпадают друг с другом, если их нарисовать на обычном листе, но первая прямая — это функция, а вторая — не функция.

Решение задач на линейную функцию

№1. Найти линейную функцию, которая проходит через точки (1;1) и (10; 10).

Решение

Так как прямая y = kx + b проходит через точки (1;1) и (10; 10), то получаем систему уравнений:

• 1 = 1 k + b;
• 10 = 10k + b.

Почленно вычитаем из второго уравнения первое и получаем:

9 = 9k;

Отсюда находим: k = 1 и b = 0.

Искомое уравнение прямой: у = х.

№2. Найти уравнение линейной функции, проходящей через точку (10; 10) и параллельную прямой у = 2х + 3.

Решение

Прямые параллельны, следовательно, у них одинаковые угловые коэффициенты. Получаем, что k = 2. Теперь подставляем координаты (10; 10) в уравнение y = 2x + b:

10 = 2 • 10 + b;

b = 10 – 20 = -10.

Искомое уравнение прямой: y = 2x – 10.

Вопросы и ответы

Можно ли упростить процесс построения графиков функций?

Сегодня некоторые сайты, такие как Desmos, Buildingclub, Yotx, предлагают автоматическое построение графиков.

Можно ли научиться строить графики самостоятельно?

Чтобы научиться строить самостоятельно, нужно немного потренироваться. Для этого строят графики линейных функций, слегка изменяя коэффициенты k и b. Это упражнение позволяет быстро запомнить поведение графиков.

Заключение

Несмотря на свою простоту, график прямой очень важен. Умение его строить необходимо для успешной сдачи школьных экзаменов и дальнейшего изучения как математики, так и многих других наук.