Находим дискриминант правильно

Дискриминант — одно из важнейших математических понятий. Именно с его помощью можно определить количество корней квадратного уравнения (кв. ур.), а также найти их численные значения.

Понятие квадратного уравнения

Кв. ур. — это один из наиболее распространенных типов алгебраических уравнений. Они выглядят так:

ax² + bx + c = 0.

Здесь «x» — неизвестная величина. Буквы «a», «b», «c» — числа, коэффициенты.

Важно. Значение коэффициента «a» обязательно должно быть отличным от нуля. Наша цель — найти такие значения «x», когда данное уравнение превращается в верное равенство.

Понятие дискриминанта

Теперь о дискриминанте. Это не просто число — оно определяется по специальной формуле. Вычисление осуществляется с использованием коэффициентов кв. ур. Дискриминант — это своего рода основа уравнения. Именно он позволяет определить:

• сколько корней (решений) имеет уравнение;
• будут ли корни действительными числами или принадлежат множеству комплексных чисел.

Формула

Понадобится простая формула:

D = b² - 4ac,

где:

• D — это сам дискриминант, число, которое мы ищем;
• b — коэффициент при «x»;
• a — коэффициент при «x²»;
• c — свободный член (число без «x»).

Мы умножаем «a» на «c», затем на 4. Результат вычитаем из квадрата «b».

Значения дискриминанта

Значение дискриминанта D — наш главный индикатор. Его знак рассказывает нам о корнях уравнения:

1. Дискриминант больше нуля (положительный). В ходе решения будут найдены два разных действительных корня. Это значит, есть два разных числа «x», которые превращают данное уравнение в истинное равенство.
2. D равен нулю. Оба корня совпадают. Можно сказать, что есть один действительный корень, то есть одно-единственное решение.
3. D — отрицательное значение. Действительных корней нет. Решения существуют, но они находятся в области комплексных чисел. В рамках школьной программы это часто интерпретируется как отсутствие решений.

Как решать

Посредством дискриминанта находятся сами корни уравнения. Для этого применима стандартная формула корней кв. ур., которая напрямую использует дискриминант.

Общая формула корней: x = (-b ± √D) / (2a).

Видите? Выражение D находится под знаком квадратного корня:

• если он больше нуля, корень извлекается, и получаем два разных значения «x»;
• если равен нулю, формула упрощается до x = -b / (2a), что дает один корень;
• если меньше нуля, то решения нет.

Примеры

Закрепим изученное.

1: Уравнение

1. Определим коэффициенты: a = 1, b = -5, c = 4.
2. D = b² - 4ac; D = (-5)² - 4 * 1 * 4 = 25 - 24 = 9.
3. Дискриминант D = 9.
4. Найдем корни по формуле x = (-b ± √D) / (2a); x = (-(-5) ± √9) / (2 * 1); x = (5 ± 3) / 2.
5. Разделим на два случая для знаков ±: x₁ = (5 + 3) / 2 = 8 / 2 = 4; x₂ = (5 - 3) / 2 = 2 / 2 = 1.
6. Ответ: 4 и 1.

2: Уравнение

1. a = 1, b = 6, c = 9.
2. D = (-6)² - 4 * 1 * 9 = 36 - 36 = 0.
3. Дискриминант D = 0. Уравнение имеет один действительный корень.
4. Найдем корень: x = -b / (2a); x = - (-6) / (2 * 1) = 3.
5. Ответ: 3.

3: Уравнение

1. a = 1, b = 1, c = 1.
2. D = (1)² - 4 * 1 * 1; D = 1 — 4; D = -3.
3. Дискриминант D = -3. Он меньше нуля (D < 0). Уравнение не имеет действительных корней.
4. Ответ: нет действительных корней.

Умение быстро находить и анализировать дискриминант — это полезный навык, необходимый для решения квадратных уравнений. Нередко вычисление дискриминанта становится самым важным действием во время поиска корней кв. ур.