Дискриминант — одно из важнейших математических понятий. Именно с его помощью можно определить количество корней квадратного уравнения (кв. ур.), а также найти их численные значения.
Понятие квадратного уравнения
Кв. ур. — это один из наиболее распространенных типов алгебраических уравнений. Они выглядят так:
ax² + bx + c = 0.
Здесь «x» — неизвестная величина. Буквы «a», «b», «c» — числа, коэффициенты.
Важно. Значение коэффициента «a» обязательно должно быть отличным от нуля. Наша цель — найти такие значения «x», когда данное уравнение превращается в верное равенство.
Понятие дискриминанта
Теперь о дискриминанте. Это не просто число — оно определяется по специальной формуле. Вычисление осуществляется с использованием коэффициентов кв. ур. Дискриминант — это своего рода основа уравнения. Именно он позволяет определить:
- сколько корней (решений) имеет уравнение;
- будут ли корни действительными числами или принадлежат множеству комплексных чисел.
Формула
Понадобится простая формула:
D = b² - 4ac,
где:
- D — это сам дискриминант, число, которое мы ищем;
- b — коэффициент при «x»;
- a — коэффициент при «x²»;
- c — свободный член (число без «x»).
Мы умножаем «a» на «c», затем на 4. Результат вычитаем из квадрата «b».
Значения дискриминанта
Значение дискриминанта D — наш главный индикатор. Его знак рассказывает нам о корнях уравнения:
- Дискриминант больше нуля (положительный). В ходе решения будут найдены два разных действительных корня. Это значит, есть два разных числа «x», которые превращают данное уравнение в истинное равенство.
- D равен нулю. Оба корня совпадают. Можно сказать, что есть один действительный корень, то есть одно-единственное решение.
- D — отрицательное значение. Действительных корней нет. Решения существуют, но они находятся в области комплексных чисел. В рамках школьной программы это часто интерпретируется как отсутствие решений.
💡 Сохрани шпаргалку. Она пригодится при решении задач и подготовке к ОГЭ и ЕГЭ.
Как решать
Посредством дискриминанта находятся сами корни уравнения. Для этого применима стандартная формула корней кв. ур., которая напрямую использует дискриминант.
Общая формула корней: x = (-b ± √D) / (2a).
Видите? Выражение D находится под знаком квадратного корня:
- если он больше нуля, корень извлекается, и получаем два разных значения «x»;
- если равен нулю, формула упрощается до x = -b / (2a), что дает один корень;
- если меньше нуля, то решения нет.
Примеры
Закрепим изученное.
1: Уравнение
- Определим коэффициенты: a = 1, b = -5, c = 4.
- D = b² - 4ac; D = (-5)² - 4 * 1 * 4 = 25 - 24 = 9.
- Дискриминант D = 9.
- Найдем корни по формуле x = (-b ± √D) / (2a); x = (-(-5) ± √9) / (2 * 1); x = (5 ± 3) / 2.
- Разделим на два случая для знаков ±: x₁ = (5 + 3) / 2 = 8 / 2 = 4; x₂ = (5 - 3) / 2 = 2 / 2 = 1.
- Ответ: 4 и 1.
2: Уравнение
- a = 1, b = 6, c = 9.
- D = (-6)² - 4 * 1 * 9 = 36 - 36 = 0.
- Дискриминант D = 0. Уравнение имеет один действительный корень.
- Найдем корень: x = -b / (2a); x = - (-6) / (2 * 1) = 3.
- Ответ: 3.
3: Уравнение
- a = 1, b = 1, c = 1.
- D = (1)² - 4 * 1 * 1; D = 1 — 4; D = -3.
- Дискриминант D = -3. Он меньше нуля (D < 0). Уравнение не имеет действительных корней.
- Ответ: нет действительных корней.
Умение быстро находить и анализировать дискриминант — это полезный навык, необходимый для решения квадратных уравнений. Нередко вычисление дискриминанта становится самым важным действием во время поиска корней кв. ур.
