Дом знаний
Дом ЗнанийОнлайн-школа

Область определения функции

Алискантиев Тимур

8 мин. чтения
eye21
preview_image

Область определения функции — это одно из ключевых математических понятий. Оно используется не только в математическом анализе, но и при решении множества прикладных задач.

Область определение функции — понятие

Напомним определение функции.

Функция — это правило, устанавливающее соответствие между элементами двух множеств. При этом каждому элементу одного множества ставится в соответствие один элемент другого множества.

Если у нас есть два множества Х и Y, и каждому элементу множества Х поставлен в соответствие один элемент из множества Y, то говорят, что на множестве Х задана функция. При этом используется краткая запись y = f(x), а также названия:

  • х — независимая переменная или аргумент;
  • y — зависимая переменная или функция.

Теперь сформулируем понятия области определения.

Область определения функции — это множество всех значений ее аргумента.

Сформулируем более развернутое определение. Пусть есть два множества Х и Y, и каждому элементу х Х поставлен в соответствие один элемент y Y, который обозначается как f(x). Тогда множество Х называется областью определения функции f, а Y — множеством значений.

Область определения функции y = f(x) можно обозначать как D(f) либо D(y).

Область определения есть у всех функций без исключения.

Области определения элементарных функций

К основным элементарным функциям относятся:

  • степенные функции y = kxn, где n — некоторое вещественное число, k — ненулевое число;
  • показательные функции y = ах, где а — неотрицательное число;
  • логарифмические функции y = logax, где а — неотрицательное число, неравное единице;
  • тригонометрические функции y = sin(x), y = cos(x), y = tg(x), y = ctg(x).

Функции, которые можно получить из основных элементарных функций при помощи конечного числа арифметических действий, называются элементарными. Проанализируем их D(y).

Область определения постоянной функции

Постоянные функции имеют вид y = с, где с — некоторое действительное число (константа).

Область определения постоянной функции — множество всех действительных чисел: D(y) = R. Также можно записать D(y) = (-∞; +∞).

Область определения линейной функции

Линейная функция имеет вид y = kx + b, где k (угловой коэффициент) и b (свободный коэффициент) — некоторые вещественные числа.

Область определения линейной функции такая же, как и у постоянной функции: D(y) = R или D(y) = (-∞; +∞).

Область определения степенной функции

Строго говоря, степенной является функция вида y = kxn, где n может быть любым вещественным числом. Но обычно под степенной подразумевают функцию, у которой показатель степени выражен целым числом.

В этом случае D(y) зависит от знака n.

Если n ≥ 0, то D(y) включает в себя все действительные числа D(y) = (-∞; +∞).

Если n — отрицательное число, то D(y) будет состоять из любых действительных чисел, отличных от нуля D(y) = (-∞; 0) U (0; +∞). Нуль приходится исключить из D(y), так как на 0 делить нельзя.

Область определения корневой функции

Под корневой функцией понимают функцию вида:

Область определения функции

где n — целое положительное число.

У корневых функций вид D(y) зависит от четности числа n.

Если n — четное, то D(y) будет множество неотрицательных действительных чисел D(y) = [0; +∞).

Если n — нечетное, то областью определения будет множество всех действительных чисел D(y) = (-∞; +∞).

Область определения показательной функции

Значение показательной функции y = ах можно вычислить при любом значении аргумента, поэтому ее область определения — все множество действительных чисел D(y) = (-∞; +∞).

Область определения логарифмической функции

Логарифмическая функция имеет вид y = logax. То есть значением y является показатель степени, в которую нужно возвести число а, чтобы получить х. Так как по определению вещественный логарифм logab имеет смысл только при а>0, a ≠ 1, b >0, то очевидно, что областью определения логарифмической функции будут положительные действительные числа D(y) = (0; +∞).

Область определения тригонометрических функций

Области определения основных тригонометрических функций следующие:

1. У функции синуса y = sin(x) и косинуса y = cos(x) область определения — все множество действительных чисел D(y) = (-∞; +∞).

2. У функции тангенса y = tg(x) область определения — все действительные числа, кроме тех, в которых cos(x) = 0, то есть все действительные числа, для которых справедливо x ≠ π/2+ πk, k z (целое число).

3. У котангенса y = ctg(x) область определения — все действительные числа, кроме тех, в которых sin(x) = 0, то есть все действительные числа, для которых справедливо x ≠ πk, k z.

Вывод

Знание областей определения элементарных функций необходимо для понимания поведения функции и ее свойств. Также оно помогает не допускать ошибок при решении уравнений и неравенств. Кроме того, умение находить область определения функции необходимо для решения практических задач, так как многие технические процессы описываются математическими моделями.

Вопросы и ответы

Как найти область определения функции?

Чтобы найти область определения произвольной функции, нужно выполнить следующую последовательность действий:

  • уточнить, из каких элементарных функций состоит данная функция;
  • для каждой элементарной функции, входящей в ее состав, найти области определения;
  • найти пересечение областей определения.

Для решения подобных задач нужно хорошо владеть методом интервалов и уметь находить пересечения множеств.

Рассмотрим несколько характерных примеров.

Область определения функции

Степень корня четная, следовательно, подкоренное выражение должно быть неотрицательным. Чтобы найти значения аргумента, удовлетворяющие этому условию, решаем методом интервалов неравенство:

x2 – 4 ≥ 0,

раскладываем на множители:

(х – 2) (х + 2) ≥ 0.

Отмечаем точки х = 2 и х = -2 на числовой прямой, анализируем знаки произведения (х – 2)(х + 2) на числовых интервалах.

Область определения функции

Область определения данной функции будет D(y) = (-∞; -2] U [2; +∞).

Область определения функции

У этой функции D(y) совпадает с областью определения функции log3 (x+5), из которой нужно выбросить те значения аргумента, при которых логарифм обращается в ноль (так как на 0 делить нельзя).

Получается система неравенств:

Область определения функции

Получаем D(y) = (-5; -4) U (-4; +∞).

№3 y = sin5x + tg10x

Очевидно, что D(sin5x) = (-∞; +∞). Но чтобы найти область определения D(10x), придется решить неравенство:

Область определения функции

Делим обе части на 10:

Область определения функции

То есть из множества вещественных чисел нужно выбросить все такие числа. Это можно записать как:

Область определения функции

№4 y =|x|

Известно, что подкоренное выражение для квадратного корня должно быть больше или равно 0. Но значение модуля для любого числа будет неотрицательным. Следовательно, D(y) = (-∞; +∞).

Замечание. Корни четной степени требуют аккуратности, так как при малейшей невнимательности легко можно сделать промах. Например, у функций

Область определения функции

области определения будут разными. Нельзя просто извлечь корень и написать:

Область определения функции

Значения х2 неотрицательные при любых х, поэтому D(g) = (-∞; +∞), тогда как D(y) = [0; +∞).

Вот еще один коварный пример. Если нужно найти

Область определения функции

то выполнять сокращение нельзя. Казалось бы

Область определения функции

но для y = 1 область определения D(y) = (-∞; +∞), а это значит, что 0 D(y). Но если подставить

Область определения функции

то получается запрещенная операция. Поэтому сокращать переменные в данном случае нельзя, а область определения будет D(y) = (-∞; 0) U (0; +∞).

Как найти область определения рациональной функции?

Для рациональной функции вида:

Область определения функции

— это все числа из (-∞; +∞), кроме тех, где Q(x) обнуляется. Поэтому сначала решают Q(x) = 0, а затем исключают полученные значения из (-∞; +∞).

Пример: найти области определения функции

Область определения функции

Найдем значения аргумента, обращающие знаменатель в 0.

Область определения функции

Это значение нужно выбросить из множества действительных чисел.

Ответ: D(y) = (-∞; -2) U (-2; +∞).

Как правильно обозначать область определения функции?

Область определения обозначается большой латинской буквой D, за которой в круглых скобках указывается функция.

Значение области определения записывается в виде интервалов либо неравенств.

author_avatar
Алискантиев Тимур

Преподаватель математики с многолетним опытом, исследователь числовых методов и алгоритмов. Пишет статьи по математической логике и оптимизации вычислений

;