Треугольник — это геометрическая фигура, которую образуют три не лежащие на одной прямой точки (вершины) и соединяющие эти точки отрезки. Существует бесконечное разнообразие таких фигур.
Треугольники считаются одинаковыми или равными друг другу в том случае, если у них совпадают по величине все 3 угла, и соответствующие стороны тоже совпадают по длине. О таких треугольниках говорят, что они равны или конгруэнтны.
Таким образом, ΔАВС и ΔА1В1С1 равны друг другу, если все их размеры совпадают. Равенство (конгруэнтность) фигур принято обозначать символом ≅. Запись ΔАВС ≅ ΔА1В1С1 означает, что треугольник ΔАВС равен (конгруэнтен) треугольнику ΔА1В1С1.
Если один треугольник ΔАВС является зеркальным отражением другого треугольника ΔА1В1С1, и при этом их углы и стороны попарно равны, то ΔАВС и ΔА1В1С1 тоже считаются равными.
Если пара треугольников равна, то один является идеальной копией другого. Существует 5 признаков равенства треугольников:
- у треугольников совпадают длины сторон;
- совпадают две стороны и угол между ними;
- совпадает длина стороны и два прилежащих к ней угла;
- совпадает длина стороны, а также величины прилежащего и противолежащего угла;
- у прямоугольных треугольников совпадают длины гипотенузы и одного из катетов.
Чтобы доказать равенство треугольников, можно воспользоваться любым из этих признаков.
Видно, что признаки равенства с третьего по пятый, по сути, дублируют друг друга. Поэтому самыми важными являются признаки с первого по третий. Рассмотрим их немного подробнее.
Первый признак равенства треугольников
Треугольники равны, если у них совпадают длины двух сторон и величина угла между ними.
Чтобы доказать это утверждение, рассмотрим такие ΔАВС и ΔА1В1С1, что длина отрезка АВ совпадает с соответствующей длиной отрезка А1В1 в другом треугольнике, и длина АС совпадает с длиной А1С1. Также величина угла ∠A равна величине угла ∠A1.
Так как величины углов ∠A и ∠A1 одинаковы, то при наложении треугольников ΔАВС и ΔА1В1С1 друг на друга стороны этих углов совпадут.
По условию, АВ = А1В1. Следовательно, при наложении этих отрезков, лежащих на сторонах угла, точка А совпадет с А1, а точка В совпадет с точкой В1. Аналогичные рассуждения, проделанные для отрезков АС и А1С1, позволяют сделать вывод, что при наложении точка С совпадет с точкой С1.
Таким образом, при наложении ΔАВС на ΔА1В1С1 совпадают все их точки. Следовательно, эти треугольники равны.
Второй признак равенства треугольников
Треугольники будут равными, если их сторона и два прилежащих угла равны.
Чтобы доказать равенство, опять рассмотрим пару треугольников ΔАВС и ΔА1В1С1. Пусть у них совпадают следующие элементы: АС = А1С1, ∠A = ∠A1 и ∠С = ∠С1. Выполним наложение ΔАВС на ΔА1В1С1 так, чтобы отрезок АС совместился с А1С1. При этом благодаря равенству углов ∠A и ∠A1 луч АС совпадет с лучом А1С1, а луч АВ совпадет с лучом А1В1.
Аналогично равенство углов ∠С и ∠С1 приводит к тому, что луч СА совпадает с лучом С1А1 и луч СВ совпадает с лучом С1В1. Совпадающие лучи АВ и А1В1 пересекаются с совпадающими лучами СВ и С1В1 в единственной точке, поэтому точка В совпадает с точкой В1. Следовательно, ΔАВС и ΔА1В1С1 полностью идентичны друг другу.
Также рассмотрим случай, когда в паре треугольников ΔАВС и ΔА1В1С1 имеются следующие равенства: АВ = А1В1, ∠АВС = ∠А1В1С1, ∠ВСА = ∠В1С1А1. Так как сумма углов в любом треугольнике всегда составляет 180°, то мы можем записать:
∠САВ = 180° - ∠АВС -∠ВСА;
∠С1А1В1 = 180° -∠А1В1С1 - ∠В1С1А1.
Следовательно, ∠САВ =∠С1А1В1, и в треугольниках ΔАВС и ΔА1В1С1 совпадает длина стороны и величина прилежащих к ней углов. Следовательно, по II признаку ΔАВС ≅ ΔА1В1С1.
Третий признак равенства треугольников
Треугольники равны, если все три их стороны равны.
Доказывать будем опять с помощью пары треугольников ΔАВС и ΔА1В1С1. По условию имеем следующие равенства длин отрезков: АС = А1С1, АВ = А1В1, СВ = С1В1.
Выполним наложение ΔАВС на ΔА1В1С1 так, чтобы точка А совместилась с точкой А1, точка С совместилась с точкой С1, а вершины В и В1 оказались по разные стороны от отрезка АС.
Теперь рассмотрим ΔАВВ1. По условию длины АВ и А1В1 одинаковы. Отсюда можно сделать вывод, что ΔАВВ1 является равнобедренным, и мы имеем равенство углов: ∠AВВ1 и ∠AВ1В.
Проделываем аналогичные рассуждения для ΔСВВ1. В нем по условию одинаковые длины имеют отрезки СВ и СВ1. Поэтому угол ∠СВВ1 будет иметь такую же величину, как и угол ∠СВ1В.
Но ∠AВС = ∠AВВ1 + ∠СВВ1, а ∠AВ1С = ∠AВ1 В+ ∠СВ1В. Учитывая равенство соответствующих слагаемых, получаем, что ∠AВС =∠AВ1С.
Таким образом, в паре треугольников ΔАВС на ΔА1В1С1 выполняются следующие равенства АВ = А1В1, СВ = С1В1, ∠AВС =∠AВ1С. Согласно II признаку равенства, ΔАВС и ΔА1В1С1 равны друг другу.
Шпаргалка по трем признакам равенства треугольников
