Решение простых линейных уравнений

Умение решать простые линейные уравнения — это ключевой навык в математике. Уравнения этого типа встречаются повсеместно, начиная от простейших повседневных расчетов (например: чтобы приготовить 4 порции шоколадного соуса, нужно смешать 250 г сливок и 250 г шоколада — сколько весит одна порция?) до научных исследований.

Понимание принципов решения линейных уравнений открывает путь к освоению более сложных математических концепций. В этой статье будут рассмотрены основные методы решения таких уравнений, а также разобраны практические примеры.

Понятие уравнения

Уравнением называется математическое равенство, в состав которого входит одна или несколько неизвестных (переменных) величин.

Неизвестные (переменные) величины принято обозначать буквами латинского алфавита. Например:

• 10х + 50 х = 1 – х — уравнение относительно переменной х;
• 17у -105 = 8у — уравнение относительно переменной у;
• 25f + 5 = 0 — уравнение относительно переменной f.

Вместо переменной величины в уравнение можно подставлять числа. При этом уравнение будет обращаться либо в истинное, либо в ложное числовое равенство. Так, если в уравнение 2а + 2 = 4 вместо переменной а подставить значение 1, то получим 2•1 + 2 = 4. Это истинное числовое равенство. Но если мы подставим 0, то получим 2•0 + 2 = 4. Это ложное числовое равенство, так как 2 ≠ 4.

Число, которое при подстановке вместо неизвестной величины обращает уравнение в истинное числовое равенство, называется корнем уравнения.

Решить уравнение — значит найти все его корни или доказать, что корней нет.

Уравнения, имеющие одинаковые множества корней, называются равносильными.

Какие бывают виды уравнений

В математике существует огромное количество различных видов уравнений. Самыми простыми являются линейные.

Уравнение является линейным, если входящие в него переменные находятся только в первой степени и отсутствуют произведения переменных.

Общий вид (или стандартная форма) линейного уравнения с одной переменной выглядит следующим образом: Ax + B = 0. Здесь: х – переменная, A и В — числа. При этом А называется коэффициентом при переменной, а В — свободным членом.

Стандартная форма линейного уравнения с двумя переменными имеет вид: Ax + By = C. Здесь: x и y — переменные, A и B — коэффициенты, а C — свободный член.

Приведем несколько примеров нелинейных и линейных уравнений.

При решении линейных уравнений их сначала приводят к общему виду Ax + B = 0, а затем вычисляют значение переменной. Следующие правила помогают быстро найти решение:

• При А ≠ 0 — существует единственный корень х = -В/А;
• При А = 0 и В ≠ 0 — уравнение не имеет корней;
• При А = 0 и В = 0 — уравнение имеет бесконечное множество корней, в этом случае любое число может быть корнем.

Чтобы пользоваться этими правилами, линейное уравнение нужно привести к общему виду.

Правила переноса и деления

Для приведения линейного уравнения к общему виду используют правила переноса и деления.

Согласно правилу, при переносе члена уравнения из одной части в другую он меняет знак на противоположный.

Продемонстрируем применение правила переноса на простейшем примере. Рассмотрим уравнение: х + 8 = 18

Левая часть этого уравнения: х + 8

Правая часть: 18

При переносе 8 из левой части в правую знак 8 изменится на противоположный, то есть «+» перед 8 изменится на знак «-»:

х + 8 = 18

х = 18 – 8

х = 10

Применим правило переноса для решения следующего линейного уравнения:

-10х = 8 – 11х

Перенесем -11х из правой части в левую. При этом знак «-» изменится на знак «+».

-10х + 11х = 8

х = 8

Правило деления утверждает, что в уравнении можно разделить правую и левую часть на одно и то же ненулевое число, не нарушая при этом равенства.

Применим это правило для решения линейного уравнения -2х = 18. Разделим обе части на -2. Получаем:

-2х / (-2) = 18 / (-2)

х = -9

С помощью этих двух правил можно решить любое линейное уравнение.

Как решать простые линейные уравнения

Алгоритм решения выглядит следующим образом:

1. Раскрыть все скобки.
2. Сгруппировать все члены, содержащие переменную в одной части уравнения, а свободные члены — в другой. Важно: не забыть поменять знак члена уравнения при переносе из одной части уравнения в другую.
3. Привести подобные члены в правой и левой частях. В результате исходное уравнение примет вид Ах = В.
4. Если А ≠ 0, то решением будет х = В / А.
5. Если А = 0 и В ≠ 0, то уравнение не имеет решений.
6. Если А = 0 и В = 0, то решением уравнения является любое число.

Этот алгоритм объединяет применение правил переноса и деления.

Примеры линейных уравнений

Пример №1. Решить линейное уравнение 2(х + 2) = 36 – 4х

Решение:

1.  Раскрываем скобки: 4х + 4 = 36 – 4х

2.  Переносим члены с переменными в левую часть, а свободные — в правую:

          4х + 4х = 36 – 4

3.  Приводим подобные:

          8х = 32

4.  Делим обе части на 8:

          х = 4

5.  Ответ: 4

Пример №2. Решить линейное уравнение: 2х + 8 = 2х + 38

Решение:

1.  Переносим члены с переменными в левую часть, а свободные — в правую:

           2х – 2х = 38 – 8

2.  Приводим подобные:

          0х = 30

3.  Ответ: уравнение решений не имеет.

Пример №3. Решить линейное уравнение: 4(х – 5) +2 = 2(х – 4) + 2х – 10

Решение:

1.  Раскрываем скобки:

        4х – 20 +2 = 2х – 8 + 2х – 10

2.  Переносим члены с переменными в левую часть, а свободные — в правую:

          4х – 2х – 2х = -8 – 10 + 20 – 2

3.  Приводим подобные:

          0х = 0

4.  Ответ: решением уравнения может быть любое число.

Линейные уравнения с двумя переменными

Общий вид таких линейных уравнений: Ах + Ву + С = 0, где х и у — переменные, а А, В, С — числа.

Чтобы решить такое линейное уравнение, нужно найти все значения х и у, при которых уравнение превращается в истинное числовое равенство. Чаще всего таких пар чисел оказывается бесконечное количество. Их удобно изображать на координатной плоскости в виде прямой линии.

Если у линейного уравнения коэффициенты А и В одновременно не равны нулю, то для графического решения нужно сделать следующее:

• Вместо переменной х подставить два любых удобных численных значения и найти соответствующие значения переменной у.
• Отметить две точки с координатами (х₁; у₁) и (х₂: у₂) на координатной плоскости.
• Провести через отмеченные точки прямую линию. Любая точка этой прямой будет решением данного уравнения.

Если в условии А = 0, то прямая будет параллельна оси Ох. Если В = 0, то прямая будет параллельна оси Оу

Если А = 0, В = 0, С ≠ 0, линейное уравнение не имеет решений.

Пример №4. Построить график линейного уравнения х + 2у – 6 = 0

Решение:

1.  Положим х₁ = 0. Подставляем это значение в исходное линейное уравнение и находим значение у₁:

          0 + 2у – 6 = 0

         2у = 6

         у = 3

Координаты первой точки (0: 3)

2.  Положим х₂ = 4. Найдем соответствующее значение у₂:

          4 + 2у – 6 = 0

         2у -2 = 0

         2у = 2

         у = 1

Координаты второй точки (4:1)

3.  Строим прямую, проходящую через точки (0: 3) и (4:1)

Пример №5. Построить график линейного уравнения х + 5у = х + 10

Решение:

Приводим уравнение к общему виду. Для этого переносим все члены в левую сторону.

х + 5у – х -10 = 0

0х + 5у – 10 = 0

Находим значение у:

5у = 10

у = 2

Графиком этого линейного уравнения будет прямая, параллельная оси Ох, проходящая через точку (0: 2)

Решение систем линейных уравнений

Система линейных уравнений — это группа из нескольких линейных уравнений, для которых нужно найти такие значения переменных, которые являются решениями всех линейных уравнений, входящих в систему.

Простейшая система состоит из двух линейных уравнений с двумя переменными. Они записываются друг под другом, и слева ставится охватывающая их фигурная скобка.

Решением системы линейных уравнений с двумя неизвестными является точка пересечения прямых, изображающих решение каждого уравнения системы. Если прямые параллельны, то система решений не имеет. Если прямые совпадают, то решений бесконечно много.

Пример №6. Решить графическим способом систему линейных уравнений:

Решение:

1. Легко увидеть, что точки с координатами (5; 0) и (0; 5) удовлетворяют первому уравнению, а точки (0; 2) и (1; 0) — второму линейному уравнению.
2. Строим графики этих прямых:

3. На графике видно, что решением данной системы линейных уравнений будет точка (-3; 8).

Очевидно, что не любую систему удобно решать графическим способом. Иногда метод подстановки гораздо более универсален. С его помощью можно легко решить любую систему линейных уравнений.

Суть метода подстановки заключается в следующем: в одном из уравнений системы выражают одну переменную через другую, затем во втором уравнении вместо выраженной переменной подставляют полученное выражение и решают его, как простейшее линейное уравнение с одним неизвестным. Полученное число подставляют в выражение для переменной, которую выразили в самом начале и находят ее числовое значение.

Продемонстрируем использование метода подстановки на примере. Решим систему линейных уравнений с двумя переменными:

1.  Из первого уравнения выражаем у:

       у = 11 – 2х

2.  Подставляем полученное выражение во второе линейное уравнение и выполняем преобразования:

      3х – 3(11 – 2х) = 12

     3х – 33 + 6х = 12

     9х = 12 + 33

     9х = 45

     х = 45 / 9

     х = 5

3.  Подставляем это значение переменной х в выражение для у:

       у = 11 - 2•5

       у = 1

       Ответ: (5; 1)

Метод почленного сложения (вычитания) уравнений системы используют в тех случаях, когда метод подстановки приводит к неудобным вычислениям. Он заключается в умножении обеих частей одного или обоих уравнений на выбранное число и почленном сложении или вычитании с другим уравнением системы так, чтобы коэффициент при одной из переменных стал 0 и можно было удобно выразить оставшуюся переменную . Продемонстрируем применение этого метода на примере. Решим систему линейных уравнений:

1.   Анализ первого уравнения показывает, что все коэффициенты и свободный член можно нацело разделить на 3. Выполняем почленное деление:

          7х + 3у = 23

2.  Видим, что при почленном вычитании уравнений коэффициент при переменной у будет 0. Выполняем почленное вычитание полученного линейного уравнения из второго уравнения системы:

           8х + 3у - (7х + 3у) = 25 - 23

3.   Раскрываем скобки и преобразовываем:

          8х + 3у - 7х –3у = 2

          х = 2

4.  Подставляем найденное значение х = 2 во второе уравнение системы и находим значение у:

          8•2 + 3у = 25

         3у = 25 – 16

         3у = 9

         у = 3

5.  Ответ: (2; 3)

Заключение

Понимание методов решения простых линейных уравнений важно не только для успешной сдачи ЕГЭ и ОГЭ. Оно необходимо для освоения основ алгебры и дальнейшего изучения математики.

Овладев этими методами, можно будет успешно справляться с более сложными математическими задачами, что открывает новые горизонты в получении дальнейшего образования и в профессиональной деятельности. Поэтому умение работать с линейными уравнениями представляет собой важный шаг на пути к успеху.