Теорема Пифагора

Теорема Пифагора — одно из самых известных математических утверждений. Ее отлично знают даже те, кто абсолютно не связан с математикой и не интересуется этой наукой. Теорема названа в честь древнегреческого философа Пифагора Самосского (570-490 гг. до н. э.).

Немного истории

Первую формулировку теоремы приписывают Пифагору. Но на самом деле связь между суммой квадратов катетов и квадратом гипотенузы была известна древним цивилизациям задолго до открытия, сделанного Пифагором.

Существует вавилонская табличка, датируемая 1900 г. до н. э., на которой записано утверждение, аналогичное теореме Пифагора. Возраст этой таблички почти на полторы тысячи лет больше, чем возраст формулировки, данной Пифагором.

В древнекитайском математико-астрономическом трактате «Чжоу би суань цзин» также содержатся примеры применения теоремы для решения задач.

Есть археологические свидетельства того, что о теореме знали в древнем Вавилоне, Китае, Индии. Но именно Пифагор впервые привел четкую формулировку и доказательство. Это зафиксировано в «Началах» — главном труде древнегреческого философа Евклида, написанном около 300 г. до н. э.

Сам великий ученый осознавал важность своего открытия и заслуженно им гордился. Древнегреческий историк Диоген Лаэртский утверждает, что Пифагор принес жертву из ста быков — гекатомбу — в благодарность богам за открытие теоремы.

Определение теоремы Пифагора

Теорема Пифагора устанавливает соотношение между сторонами прямоугольного треугольника. Она гласит: в любом прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов.

Формула теоремы Пифагора

В виде математической формулы теорему можно записать следующим образом:

а² + b² = с²,

где:

• а и b — длины катетов треугольника;
• с — длина гипотенузы.

Доказательство теоремы Пифагора

Пусть дан треугольник АВС, у которого угол ∠С является прямым (∠С равен 90°), а и b — длины катетов, с — гипотенуза.

Докажем, что а² + b² = с².

Опустим из вершины прямого угла высоту на гипотенузу. Точку пересечения высоты с гипотенузой обозначим как Н.

Так как ∠АНС = ∠ВНС = 90°, то мы получаем следующие равенства углов:

∠ВАС = ∠НСВ;

∠АСН = ∠АВС.

Следовательно, прямоугольные треугольники ΔАНС, ΔСНВ и ΔАВС подобны. При этом длина гипотенузы треугольника ΔАНС равна АС = b, и длина соответствующей стороны треугольника ΔСНВ равна СВ = а.

Для подобных треугольников выполняется равенство отношений длин соответствующих сторон:

а / с = НВ / а;

b / с = АН / b.

Следовательно:

а² = с • НВ;

b² = с • НА.

Сложив эти два равенства, получаем:

а² + b² = с • НВ + с • НА.

Выносим общий член за скобки:

а² + b² = с • (НВ + НА).

Так как НВ + НА = АВ = с, получаем:

а² + b² = с².

Что и требовалось доказать.

Основные определения

Теорему Пифагора можно сформулировать следующим образом: гипотенуза в квадрате равна сумме квадратов катетов.

Напоминаем, что:

• прямоугольный треугольник — это треугольник, один из углов которого является прямым;
• угол называется прямым, если его величина равняется 90°;
• гипотенузой называется сторона прямоугольного треугольника, противолежащая прямому углу;
• катеты — стороны прямоугольного треугольника, образующие прямой угол;
• эти термины используются для обозначения сторон только в прямоугольном треугольнике.

В виде формулы теорема записывается как с² = а² + b².

Доказательство обратной теоремы Пифагора

Формулировка теоремы: если в каком-либо треугольнике сумма квадратов двух сторон равна квадрату третьей стороны, то такой треугольник является прямоугольным.

Доказательство. Имеем некоторый треугольник ΔАВС, для которого выполняется: АС² + ВС² = АВ².

Построим прямой угол С₁ и отметим на его сторонах точки А₁ и В₁ так, чтобы выполнялось А₁С₁ = АС и В₁С₁ = ВС. Полученный треугольник ΔА₁В₁С₁ имеет прямой угол ∠С₁. Следовательно, по теореме Пифагора А₁ С₁² + В₁С₁² = А₁В₁².

Таким образом, мы получили, что у треугольников ΔАВС и ΔА₁В₁С₁ стороны совпадают. Следовательно, исходный треугольник ΔАВС тоже является прямоугольным.

Решение задач

№1. Длины сторон треугольника равны 15 см, 12 см и 13 см. Является ли этот треугольник прямоугольным?

Решение

Используем обратную теорему. Для этого возведем все длины в квадрат и вычислим сумму двух меньших.

5² = 25,

12² = 144,

13² = 169,

5² + 12² = 25 + 144 = 169 = 13².

Следовательно, данный треугольник является прямоугольным.

№2. У треугольника ΔАВС угол ∠АСВ = 90°, СА = 15 см, СВ = 8 см. Найти длину АВ.

Решение

Воспользуемся теоремой Пифагора:

АВ² = СА² + СВ²,

АВ = √(СА² + СВ²) = √(15² + 8²) = √289 = 17 см.

Ответ: АВ = 17 см.

Заключение

Теорема Пифагора находит применение во всех областях, связанных с пространственными расчетами или моделированием физических процессов. Она чрезвычайно широко используется для вычислений различных величин в строительстве, проектировании дорог и взлетно-посадочных полос, навигации, физике, электронике, компьютерной графике и программировании, экономике и финансах.