Теорема Виета для квадратного уравнения

Теорема Виета демонстрирует связь между коэффициентами уравнения и его корнями. Школьники изучают теорему Виета для квадратного уравнения, но для более высоких степеней существует свой вариант теоремы Виета.

Основные понятия

Напомним несколько базовых понятий, которые необходимы, чтобы понять теорему Виета.

Уравнение называется квадратным, если оно обязательно содержит переменную во второй степени (квадрате), а также может содержать переменную в первой и нулевой степени. Переменную в других степенях квадратное уравнение не содержит.

В общем случае квадратное уравнение записывается в виде:

ax² + bx + c = 0.

Где a, b, c, — коэффициенты, причем старший коэффициент не равен нулю (а ≠ 0).

Если старший коэффициент единичный (а = 1), то квадратное уравнение приобретает вид: x ² + px + q = 0. Такое квадратное уравнение является приведенным. Если а ≠ 1, то неприведенным.

У каждого квадратного уравнения есть характеристика — дискриминант (обычно обозначается как D) — определяющая количество решений (корней), которые являются действительными числами. D вычисляется по формуле: D = b² – 4ac.

Термин «дискриминант» происходит от латинского слова «discriminare», означающего «разделять». D действительно разделяет квадратные уравнения на классы («дискриминирует») в зависимости от количества действительных корней:

• D > 0 — два корня квадратного уравнения;
• D < 0 — нет корня квадратного уравнения;
• D = 0 — один корень квадратного уравнения.

Теорема Виета и формулы Виета

Сформулируем теорему Виета для корней квадратного уравнения ax² + bx + c = 0.

Теорема Виета: сумма корней равна частному второго и первого коэффициентов, взятого с противоположным знаком: х₁ + х₂ = -b/a. Произведение корней равно частному третьего и первого коэффициентов: х₁ • х₂ = c/a.

Для приведенного квадратного уравнения x ² + px + q = 0 сумма корней равна второму коэффициенту, взятому с противоположным знаком: х₁ + х₂ =-р. Произведение корней равно свободному члену: х₁ • х₂ = q.

Теорема Виета в некоторых случаях помогает быстро угадывать числа, производя лишь простейшие вычисления без извлечения квадратных корней. Продемонстрируем это на примере приведенного и неприведенного квадратных уравнений.

Пусть требуется решить х² – х – 12 = 0. Согласно теореме Виета, сумма корней равна 1. Произведение его корней равно коэффициенту -12. Запишем формулы:

х₁ + х₂ = 1;

х₁ * х₂ = -12.

Мы видим, что сумма корней равна положительному числу, а произведение — отрицательному. Нетрудно сообразить, что в данном случае корнями являются числа разных знаков — в противном случае свободный член не может быть меньше нуля.

Числа, удовлетворяющие обоим равенствам, подбираются очень легко. Очевидно, что х₁ = 4 и х₂ = -3 — это корни квадратного уравнения.

Теперь проделаем подбор корней квадратного уравнения, у которого старший коэффициент не равен единице. Пусть нужно найти корни квадратного уравнения 2х² – 7х + 6 = 0.

В данном случае сумма х₁ + х₂ равна 3,5, а произведение х₁ и х₂ будет 3. Запишем формулы:

х₁ + х₂ = -(-7)/2 = 3,5;

х₁ х₂ = 6/2 = 3.

Сумма и произведение положительны, следовательно, корнями будут положительные числа. Легко догадаться, что это 1,5 и 2.

Доказательство теоремы Виета

Проведем доказательство теоремы Виета сначала для приведенного квадратного уравнения:

x ² + px + q = 0.

Дискриминант: D = p² – 4q.

Корни квадратного уравнения:

x₁ = (-p + √D)/2;

x₂ = (-p - √D)/2.

Следовательно, сумма корней равна:

х₁ + х₂ = (-p + √D)/2 + (-p - √D)/2.

Складываем две дроби с одинаковым знаменателем:

х₁ + х₂ = (-p + √D + -p - √D)/2.

Приводим подобные и получаем сумму корней:

х₁ + х₂ = -2р/2 = р.

Мы доказали, что х₁ + х₂ = р.

Теперь выполним похожие рассуждения для:

х₁ х₂ = ((-p + √D)/2) • ((-p - √D)/2).

Перемножаем числитель и знаменатели этих двух дробей:

х₁ х₂ = (-p + √D) • (-p - √D)/4.

Раскрываем скобки в числителе, используя формулу сокращенного умножения (х – у)•(х + у) = х² + у², также не забываем, что (√D)² = D и (-р)•(-р) = р²:

х₁ х₂ =(р² – D) / 4.

Вместо D подставляем в формулу выражение p² – 4q и получаем:

х₁ х₂ = (р² – (p² – 4q)) / 4.

Раскрываем в числителе скобки:

х₁ х₂ = (р² – p² + 4q) / 4 = 4q/4 = q.

Мы доказали, что х₁ х₂ = q.

Доказательство теоремы Виета для квадратного уравнения общего вида ax² + bx + c = 0 проводится практически аналогично. Это можно сделать двумя способами:

1. Разделить все члены на старший коэффициент. Тогда квадратное уравнение превратится в приведенное x² + (b/а)•x + c/а = 0. Для приведенного квадратного уравнения теорема Виета уже доказана.
2. Найти произведение и сумму корней, используя формулу корней.

Проведем доказательство теоремы Виета вторым способом.

Если наше квадратное уравнение ax² + bx + c = 0, то D будет рассчитываться по формуле D = b² – 4ac.

Корни квадратного уравнения:

x₁ = (-b + √D)/(2а);

x₂ = (-b - √D)/(2а).

Сумма корней рассчитывается следующим образом:

х₁ + х₂ = (-b + √D)/(2а) + (-b - √D)/(2а).

Знаменатель у этих двух дробей одинаковый. Выполняем сложение:

х₁ + х₂ = ((-b + √D) + (-b - √D))/(2а).

Раскрываем скобки и приводим подобные:

х₁ + х₂ = (-b + √D - b - √D)/(2а) = -2b/(2a) = -b/a.

Мы доказали, что х₁ + х₂ = -b/a.

Теперь анализируем произведение корней:

х₁ * х₂ = ((-b + √D)/(2a)) • ((-b - √D)/(2a)).

Перемножаем числитель и знаменатели этих двух дробей и применяем формулу сокращенного умножения:

х₁ * х₂ = (- b + √D) • (-b - √D)/(4а²) = (b² – D)/(4a²).

Вместо D подставляем в формулу b² – 4ac и получаем следующее:

х₁ * х₂ = (b² – (b² – 4ac)) / (4a²) = (b² – b² + 4ac)) / (4a²) = 4ac/(4a²).

После сокращения на 4а окончательно получаем:

х₁ * х₂ = с/а.

Теорема Виета доказана.

Формулы Виета

Так называют две формулы, связывающие решения квадратного уравнения и его коэффициенты:

х₁ + х₂ = -b/a;

х₁ • х₂ = c/a.

Где х₁ и х₂ являются корнями квадратного уравнения ax² + bx + c = 0.

Для приведенного варианта (x ² + px + q = 0) сумма корней равна второму коэффициенту, взятому с противоположным знаком, а произведение корней равно свободному члену:

х₁ + х₂ = -р;

х₁ • х₂ = q.

Похожие формулы существуют и для более высоких степеней. Например, для кубического варианта (ax³ + bx² + cx + d = 0) эти формулы выглядят следующим образом:

х₁ + х₂ + х₃ = -b/a;

х₁х₂ + х₁х₃ + х₂х₃ = с/а;

х₁х₂х₃ = - d/а.

Формулы, полученные из теоремы Виета, имеют множество применений. Благодаря им особенно удобно решать следующие типы задач:

1. Найти не сами корни, а их сумму или произведение.
2. Найти второй корень, если известен первый.
3. Выполнить проверку правильности полученных корней — вычислить сумму и произведение х₁ и х₂ значительно проще, чем подставлять их в исходное ax² + bx + c = 0.

Проиллюстрируем применение теоремы Виета на следующих примерах, которые часто попадаются на контрольных и экзаменах.

№1. Дано 291х² +286 х – 5 = 0. Каково произведение корней квадратного уравнения и чему равна сумма?

Решение

Чтобы найти х₁ и х₂ с использованием формулы корней, нам придется проделать очень громоздкие вычисления. Но нам известны коэффициенты, следовательно, для данной задачи точные значения корней квадратного уравнения х₁ и х₂ нам не требуются. Тогда сумма этих корней равна -286/291, а произведение равно -5/291.

Ответ: х₁ + х₂ = -286/291; х₁ • х₂ = -5/291.

№2. Дано 78х² +151 х – 10 = 0. Известно, что число -2 является корнем. Чему равен второй корень?

Решение

Нам известно, что один корень равен х₁ = -2. Используя коэффициенты, найдем х₁ + х₂. Эта сумма равна -151/78. Следовательно:

-2 + х₂ = -151/78;

х₂ = 2-151/78;

х₂ = 5/78.

Примеры и задачи

Часто использование теоремы Виета превращает сложные задачи в очень простые.

Пример 1

Дано 2х² – 21х + 55 = 0. Вычислить (х₁² + х₂²) / (х₁²х₂ + х₁х₂²).

Решение

С помощью теоремы Виета получаем следующее: сумма корней равна х₁ + х₂ = 21/2 = 10,5, а произведение корней будет равно х₁ • х₂ = 55/2 = 27,5. Теперь выполним несложные преобразования:

х₁² + х₂² = (х₁ + х₂)² - 2 х₁ • х₂ = 10,5² - 2•27,5 = 55,25.

(х₁²х₂ + х₁х₂²) = х₁ • х₂ • (х₁ + х₂) = 27,5•10,5 = 288,75.

Записываем искомую величину:

(х₁² + х₂²) / (х₁²х₂ + х₁х₂²) = 55,25 / 288,75 = 221/1155.

Рассмотрим аналогичный пример. Пусть дано х² + 7х + 2 = 0. Найти 14 / (1/х₁ + 1/х₂).

С помощью теоремы Виета получаем следующее: сумма корней равна х₁ + х₂ = -7.

Произведение корней будет равно х₁ • х₂ = 2.

Проделываем преобразования и используем значения суммы и произведения:

(1/х₁ + 1/х₂) = (х₁ + х₂) / (х₁ • х₂) = -7/2 = -3,5.

14 / (1/х₁ + 1/х₂) = 14 / (-3,5) = -4.

Пример 2

Рассмотрим следующую интересную задачу.

Дано ax² + bx + 2 = 0. Известно, что а < 0, и что число 3 является корнем. На основе этих данных требуется решить ax⁴ + bx² + 2 = 0.

Решение

На первый взгляд задача кажется очень замысловатой. Но с помощью теоремы Виета она решается быстро и просто.

Запишем произведение корней для ax² + bx + 2 = 0:

х₁ х₂ = 2/а.

Нам известно, что х₁ = 3. Подставим это:

3х₂ = 2/а.

Следовательно, х₂ = 2/(3а). По условию, а < 0. Это значит, что и х₂ < 0.

Теперь введем обозначение t = x² и запишем (ax⁴ + bx² + 2 = 0) как:

at² + bt + 2 = 0.

Эта запись полностью идентична исходной. Таким образом получается, что t₁ = 3 и t₂ =2/(3а) < 0. Но t = x², поэтому отрицательное значение для него не подходит. Отбрасываем его. У нас остается t = 3. Выполняем обратную подстановку:

t = x² = 3.

Отсюда получаем: x₁ = √3 и х₂ = √3.

Обратная теорема Виета

Не у каждой теоремы имеется обратная, но у теоремы Виета она есть. Сформулируем ее.

Обратная теорема Виета

Пусть есть набор чисел: a, b, c, x₁, x₂. Если для них справедливы следующие равенства: x₁ + х₂ = - b/а и x₁ • х₂ = с/а, то числа х₁ и х₂ — это корни ax² + bx + c = 0.

Доказательство обратной теоремы Виета

Чтобы доказать обратную теорему Виета, рассмотрим сумму:

x₁ + х₂ = - b/а.

Выразим из нее х₂:

х₂ = - b/а – х₁.

Подставим его в x₁ • х₂ = с/а. Получаем:

(- b/а – x₁) • x₁ = с/а.

Раскрываем скобки и переносим все в одну сторону:

х₁² + (b/а) • х₁ + с/а = 0.

Умножаем все на а и получаем ax₁ ² + bx₁ + c = 0. Это значит, что х₁ является корнем уравнения.

Точно такие же рассуждения и преобразования проделываются для х₂.

Пример использования обратной теоремы Виета

Обратная теорема Виета дает эффективный инструмент для быстрого поиска ответов и проверки их правильности.

В качестве примера рассмотрим уравнение х² – 3,5х + 2,5 = 0. Очевидно, что для нахождения чисел придется проделать довольно громоздкие вычисления. Но первый корень уравнения по теореме Виета угадывается сразу: х₁ = 1. Второй корень в данном случае удобно искать с помощью обратной теоремы. Записываем:

x₁ • х₂ =2,5;

х₂ =2,5.

Итого: x₁ = 1; х₂ =2,5.

Особенно полезно использовать обратную теорему Виета для быстрой проверки решения на экзаменах. С ее помощью вычисления можно практически мгновенно производить в уме, не тратя драгоценное время.

Другой пример. Нужно решить уравнение х² – 41х + 117 = 0. Предстоят громоздкие вычисления. Но у вас мелькнула догадка, что 39 + 3 = 41. Возможно, это и есть корни. Проверить это можно, либо подставив эти числа вместо х (что довольно трудно), либо проверить с использованием обратной теоремы Виета. Действительно, получаем: 39•3 = 117. Итого: х₁ = 39: х₂ = 3.

Удобнее всего пользоваться этим методом с применением обратной теоремы Виета в том случае, когда один из корней равен единице, а все остальные числа большие. Например: х² – 7288х + 7287 = 0. Если решать обычным способом, то придется потратить много времени, даже используя калькулятор. А с помощью обратной теоремы Виета решения определяются моментально: х₁ = 1; х₂ = 7287_.

Применение теоремы Виета выручает и в тех случаях, когда необходимость проверки возникает в ходе решения какой-то большой и сложной задачи. Допустим, при решении задачи по геометрии или физике возникла необходимость узнать, является ли пара чисел 17 и 15 корнями уравнения х² – 34х + 285 = 0. Проверка выполняется элементарно и экономит время:

17+15 = 32 ≠ 34.

Следовательно, данная пара чисел не может быть корнями этого уравнения. (Замечание. Когда речь идет только об одном корне, то такой метод не работает.)

Вообще, для экзаменов полезно запомнить следующее свойство: если уравнение имеет вид: x² – (b + 1)x + b = 0, то его корнями будут х₁ = b; x₂ = 1.

Есть еще одно чрезвычайно полезное и простое свойство, которое экономит время: если числа х₁ и х₂ — это корни квадратного уравнения, то это уравнение будет: х² – (х₁ + х₂)х + х₁х₂ = 0.

С помощью этого свойства можно мгновенно составлять уравнения по заданным корням, если возникает такая необходимость. Например, пусть требуется составить уравнение с набором корней х₁ = 81 и х₂ = 3. Сразу же записываем:

х² – (81 + 3)х + 81•3 = 0;

х² – 84х + 243 = 0.

Конечно, для такой задачи можно записать (х – 81) (х – 3) = 0, а потом раскрыть скобки. Этот метод тоже абсолютно правильный, но он отнимает чуть больше времени.

Также прямая и обратная теоремы Виета ускоряют решение целого ряда задач, которые часто встречаются на экзаменах ЕГЭ и ОГЭ. Рассмотрим наиболее типичные.

Задача №1. Дано 2х² – 9х + 5 = 0. Найти сумму квадратов корней.

Решение

Приступая к таким задачам, нужно сначала проверить, существуют ли у уравнения корни (ведь задача может оказаться «с подвохом»). Но вычислять дискриминант значительно проще, чем извлекать из него корень. Поэтому выполняем вычисления: D = 9² - 4•2•5 = 41 >0. Действительные корни у этого уравнения есть, но они иррациональные, и вычислять сумму их квадратов «в лоб» весьма затруднительно. Чтобы сэкономить время, мы воспользуемся формулой сокращенного умножения и теоремой Виета. Записываем:

(х₁ + х₂)² = х₁² + 2х₁х₂ + х₂².

Выражаем отсюда искомую сумму квадратов и применяем теорему Виета:

х₁² + х₂² = (х₁ + х₂)² - 2х₁х₂;

х₁² + х₂² = (9/2)² - 2•(5/2) = 15,25;

Ответ: х₁² + х₂² = 15,25.

Замечание. Следует подчеркнуть, что проверить существование действительных корней у квадратного уравнения можно только с помощью вычисления дискриминанта. Использовать теорему Виета для этой цели нельзя.

Задача №2. Дано х² + 10х – 5 = 0. Составить квадратное уравнение, корни которого обратны корням данного.

Решение

Если х₁ и х₂ — корни для х² + 10х – 5 = 0, то от нас требуется составить такое ax² + bx + c = 0, решениями которого будут числа 1/х₁ и 1/х₂.

Вычисляем дискриминант: D = 10² - 4•10•(-5) = 120. х₁ и х₂ существуют, и они иррациональны. Решать «в лоб» очень неудобно — придется проделать массу преобразований, чтобы получить ответ в компактной форме.

Пусть числа у₁ = 1/х₁ и у₂ = 1/х₂ являются корнями для ax² + bx + c = 0. Тогда само оно должно быть:

х² – (у₁ + у₂)х +у₁у₂ = 0, то есть

х² – (1/х₁ + 1/х₂)х +(1/х₁)•(1/ х₂ ) = 0.

Выполним сложение дробей:

1/х₁ + 1/х₂ = (х₁ + х₂) / (х₁ • х₂).

Согласно условию задачи и теореме Виета, имеем: х₁ + х₂ = -10 и х₁ • х₂ = -5. Подставляем и получаем:

1/х₁ + 1/х₂ = -10/(-5) = 2.

Теперь выполняем произведение дробей:

(1/х₁)•(1/ х₂ ) = 1/(х₁ • х₂) = -1/5 = -0,2.

Подставляем полученные значения в искомое уравнение:

х² – (1/х₁ + 1/х₂)х +(1/х₁)•(1/ х₂ ) = 0.

х² – 2х – 0,2 = 0.

Разные задачи на теорему Виета

№1. Базовый уровень ЕГЭ (прямая теорема Виета)

Не решая х² – 8х + 5 = 0, найти х₁ + х₂ и х₁ • х₂.

По теореме Виета сразу записываем:

х₁ + х₂ = 8,

х₁ • х₂ = 5.

№2.

Дано х² + pх + 132 = 0. Известно, что х₁ = 11, а х₂ = 12. Найти параметр p.

По теореме Виета можем сразу записать:

х₁ + х₂ = -p,

p = - (х₁ + х₂ ),

p = -(11+12),

p = -23.

Теорема Виета избавила нас от громоздких вычислений.

№3.

Пусть есть ax² + bx + c = 0. Подберите коэффициенты, чтобы х₁ = -2 х₂ = 5.

Сразу полагаем a = 1. Остальные будем искать, используя теорему Виета.

х₁ + х₂ = - b,

b = - (х₁ + х₂) = - (-2 + 5) = -3,

х₁ • х₂ = с,

с = -2• 5 = -10.

Следовательно, по теореме Виета получаем: x² -3x -10 = 0.

№4.

Для x² -5x + 6 = 0 найти значение х₁² + х₂², не вычисляя х₁ и х₂.

Опять пользуемся теоремой Виета.

х₁ + х₂ = 5,

х₁ • х₂ = 6.

Вспоминаем формулу тождества:

х₁² + х₂² = (х₁ + х₂ )² – 2 х₁ • х₂.

Следовательно:

х₁² + х₂² = 5² -2 • 6 = 25 – 12 = 13.

№5

Дано x² -111x + 324 = 0. Проверить, может ли пара чисел 97 и 5 быть корнями.

Прямые вычисления очень громоздкие. Воспользуемся теоремой Виета:

97 + 5 = 102 ≠ 111.

Следовательно, пара чисел 97 и 5 не может быть корнями.

№6.

Найти b, если для x² + bx + 8 = 0 выполняется х₁ - х₂ = 2.

В этом случае теорема Виета тоже существенно экономит время.

х₁ + х₂ = -b,

х₁ • х₂ = 8.

Также по условию: х₁ - х₂ = 2, следовательно, х₁ = 2 + х₂

Делаем подстановку:

(2 + х₂ ) • х₂ = 8

x²₂ + 2x₂ - 8 = 0.

Решаем и находим: х₂ = 2 и х₂ = -4.

Тогда:

• если х₂ = 2, х₁ = 4 и b = - (2 + 4) = -6.
• если х₂ = -4, х₁ = -2 и b = - (-4 - 2) = 6.