Теория вероятностей: формулы, примеры

Теория вероятностей — это математическая дисциплина, в рамках которой изучаются случайные события и случайные величины. Сразу следует заметить, что довольно часто встречающийся вариант названия «теория вероятности» является ошибочным. Правильным считается название «теория вероятностей».

Основные понятия

Одной из главных задач теории вероятностей является поиск математической оценки неопределенных ситуаций. Для числовой характеристики исхода таких ситуаций используется понятие вероятности.

Согласно классическому определению, вероятность Р наступления некоторого случайного события А равна отношению числа случаев m, когда это событие наступило, к общему числу N всех возможных случаев.

Р= m / N.

Поясним это на примере. Пусть у нас имеется игральная кость. При ее броске может выпасть одно из чисел, нанесенных на ее грани. Граней у кубика 6, поэтому число возможных исходов равно шести.

Допустим, нас интересует вероятность выпадения пятерки при единичном броске кости. Число «5» присутствует только на одной грани, поэтому число исходов, которые являются для нас благоприятными, равно «1». Следовательно, вероятность выбросить при одном броске пятерку находим по формуле:

Р= 1 / 6 ≈ 0,1667.

Теперь вычислим вероятность выпадения простого числа при броске кости. В данном случае выпадение «2», «3» или «5» является благоприятным исходом броска. Следовательно, m = 3. Число всех возможных исходов равно общему количеству граней, то есть N = 6. Таким образом, вероятность выпадения простого числа при броске кости находим по формуле:

Р= 3 / 6 ≈ 0,5.

Событие и виды событий

Событие — одно из основных понятий теории вероятностей. Его можно определить как любой из множества результатов эксперимента.

Существует три основных вида событий:

1. Достоверное — произойдет обязательно. Например, при бросании игральной кости обязательно выпадет целое число в диапазоне от 1 до 6.
2. Невозможное — не произойдет в ходе эксперимента ни при каких обстоятельствах. Например, выпадение числа больше шести при бросании стандартной игральной кости никогда не произойдет, так как такого числа нет ни на одной из ее граней.
3. Случайное — событие, которое может произойти в ходе эксперимента, но может и не произойти, и предугадать, когда именно оно произойдет, невозможно. Например, выпадение числа «2» при бросании стандартной игральной кости является случайным событием. Его вероятность равна 1/6, но оно может произойти при первом же броске, и может не произойти и при выполнении миллиона бросков.

События принято обозначать большими латинскими буквами. Например, пусть опыт заключается в одновременном подбрасывании двух монет. В этом случае мы имеем следующее множество случайных событий:

• А₁ — на одной из монет выпал герб;
• А₂ — на обеих монетах выпал герб;
• А₃ — герб не выпал ни на одной из монет.

Несколько событий называются несовместными, если они не могут произойти одновременно. Можно сказать, что появление одного такого события в серии опытов делает невозможным появление другого. Проиллюстрируем несколькими примерами.

№1. Эксперимент: однократное подбрасывание монеты. Возможные события А₁ — «выпал орел» и А₂ — «выпала решка» несовместны, так как выпасть может только что-то одно.

№2. Эксперимент: сборка кубика Рубика. События А₁ — «собрать кубик за одну минуту» и А₂ — «не собрать кубик за одну минуту» несовместны.

№3. Эксперимент: однократное бросание мяча в баскетбольное кольцо. Возможные события А₁ — «мяч попал в кольцо» и А₂ — «промах» несовместны.

Два события называются противоположными, если одно из них является отрицанием другого, при этом сумма вероятностей этих событий равна единице. Событие, противоположное событию А, принято обозначать той же буквой, но с чертой над ней (Ā). Поясним на примерах:

№1. А — при бросании кости выпало число «2». Ā — при бросании кости не выпало число «2».

№2. А — ученик сдал экзамен на «Отлично». Ā — ученик не сдал экзамен на «Отлично».

Множество событий образует полную группу, если в результате эксперимента обязательно произойдет хотя бы одно из этих событий. Примеры:

№1. Подбрасывание игральной кости. Полную группу образуют события: А₁ — «выпало четное число» и А₂ — «выпало нечетное число».

№2. Тестирование прибора. А₁ — «прибор исправен» и А₂ — «прибор неисправен».

Алгебра событий

Случайные события в теории вероятностей можно складывать друг с другом, умножать, вычитать.

Сложение событий

Суммой двух событий А₁ и А₂ называется такое событие В, которое состоит в том, что происходит хотя бы одно из этих событий. Аналогично определяется сумма любого количества событий.

Рассмотрим несколько характерных примеров.

№1. А₁ = «первый стрелок попал в мишень», А₂ = «второй стрелок попал в мишень». А₁ + А₂ = «в мишень попал хотя бы один из стрелков».

№2. А₁ = «включена первая лампа», А₂ = «включена вторая лампа», А₃ = «включена третья лампа». А₁ + А₂ + А₃ = «включена хотя бы одна из трех ламп» (это значит, что событие А₁ + А₂ + А₃ состоит в том, что горит любая из трех ламп, а также любая из их комбинаций).

№3. В урне три шара: красный, белый, черный. Пусть А₁ = «вытащили красный шар», А₂ = «вытащили белый шар». Тогда А₁ + А₂ = «вытащили не черный шар».

Умножение событий

Произведением событий А₁ и А₂ называется такое событие В, которое состоит в том, что происходят оба события.

Произведением произвольного числа событий называется событие, состоящее в наступлении всех этих событий.

Проиллюстрируем это определение несколькими примерами.

№1. В урне находятся карточки с написанными на них целыми числами. Пусть А₁ = «вытащили карточку с четным числом», А₂ = «вытащили карточку с числом, которое кратно 3». Тогда А₁ • А₂ = «вытащили карточку с числом, которое кратно 6».

№2. Наблюдение погоды. Пусть А₁ = «идет дождь», А₂ = «идет град». Тогда А₁ • А₂ = «идет дождь с градом».

Рассмотрим чуть более сложные примеры.

№3. Дана таблица целых чисел. Из нее случайным образом выбирают числа. Пусть А₁ = «выбрано простое число», А₂ = «выбрано четное число». Тогда А₁ • А₂ = «одно из выбранных чисел оказалось простым, а другое — четным».

№4. Пусть А — это некоторое событие. Только события А + А и А•А состоят в наступлении события А.

Классическое определение и формула вероятности

В математике вероятностью называют меру возможности наступления некоторого случайного события. Классическое определение этой численной величины основывается на рассмотрении равновозможных исходов эксперимента. При этом считается, что все исходы равновозможны. Такой подход к рассмотрению проблемы развивали в своих работах Блез Паскаль, Пьер Ферма, Христиан Гюйгенс, Пьер-Симон Лаплас и другие математики.

Понятие равновозможности не имеет строгого математического определения. С помощью «равновозможности» описываются ситуации, когда, исходя из интуитивных соображений, любой из возможных исходов некоторого испытания имеет равные шансы на реализацию. То есть ни один из исходов не обладает преимуществами перед другими исходами.

Самым ярким примером равновозможных событий считаются подбрасывание идеальной монеты в идеальных условиях. Монета считается абсолютно симметричной (таких монет в природе не бывает), полностью отсутствует ветер, все броски производятся с одинаковой силой. Если в таких идеальных условиях сделать очень много бросков, то окажется, что на долю выпадения герба и решки приходится по 50% случаев. Реальные монеты при очень длинных сериях бросков тоже показывают примерно такие же результаты.

Классическая формула вероятности наступления случайного события А выглядит следующим образом:

Р = m / N,

где m — количество исходов испытаний, при которых событие А наступает (благоприятные исходы), N — общее число равновозможных исходов.

Из этого определения вытекают очевидные свойства.

• Невозможное событие имеет нулевую вероятность.
• Вероятность достоверного события равна 1.
• Вероятность любого случайного события не может быть больше единицы и не может быть меньше нуля: 0 ≤ Р(А) ≤ 1.

Как решать задачи по теории вероятностей

Когда мы решаем задачи на применение классического определения вероятности, то анализируем условия, подсчитываем количество благоприятных исходов и общее количество исходов опыта, затем вычисляем их частное.

Задача №1. В корзине 20 яблок. 8 из них красные и 12 — желтые. Из пакета наугад вынимают яблоко. Какова вероятность того, что яблоко окажется красным? Какова вероятность вынуть зеленое яблоко?

Решение

Общее число возможных исходов равно числу яблок в пакете. Для события А — «яблоко оказалось красным» — имеется 8 благоприятных исходов. Следовательно, вероятность вытащить красное яблоко находим по формуле:

Р(А) = 8 / 20 = 0,4.

Зеленых яблок в пакете нет, их количество равно нулю (число благоприятных событий). Значит, вероятность вытащить зеленое яблоко находим по формуле:

Р(В) = 0 / 20 = 0.

Задача №2. Кубик Рубика сломали и перемешали составляющие его кубички. Найти вероятность того, что у взятого наугад кубичка ровно две грани окажутся окрашенными.

Решение

Кубик Рубика состоит из 27 кубичков (общее число N = 27). Ровно две окрашенные грани имеют только те кубички, которые находятся в центре ребер кубика (у угловых кубичков 3 грани окрашены, поэтому по условию задачи они нам не подходят). Таким образом, количество кубичков с двумя окрашенными гранями = 12 (число благоприятных событий). Значит, вероятность события А = «мы вытащили кубичек с двумя окрашенными гранями» находим по формуле:

Р(А) = 12 / 27 = 4 / 9.

Задача №3. Бросают две игральные кости. Найдите вероятность того, что сумма очков на выпавших гранях будет равна 8?

Решение

Для вычисления вероятности события будем использовать классическую формулу.

Сумму 8 образуют следующие комбинации чисел, выпадающие на костях при бросании: 2 + 4; 4 + 2; 3 + 5; 5 + 3; 4 + 4. Всего имеем пять благоприятных исходов.

У каждой кости по 6 граней. Значит, общее количество комбинаций будет 6•6 = 36. Искомая вероятность будет:

Р(А) = 5 / 36.

Заключение

Классическое определение вероятности — это основа для понимания закономерностей случайных событий. Все более сложные современные статистические методы опираются на этот фундамент. Возможность оценивать вероятности наступления тех или иных событий абсолютно необходима не только в математике, но и в физике, биологии, экономике, инженерии, военном деле.

Современные подходы используют более сложные методы и теоретически более строгие модели. Но классические способы оценивания вероятности не теряют своей важности, особенно когда речь идет о простых системах и небольшом количестве возможных исходов.