Деление в столбик — один из самых простых и часто используемых методов вычислений вручную. Он основывается на упрощении расчетов и позволяет находить полные и неполные частные, остатки, а также выполнять деление с любой степенью точности.
Главное достоинство деления в столбик заключается в том, что для получения результата не требуется использовать калькулятор или специальное программное обеспечение. Все можно сделать, если есть листок бумаги и ручка.
Какие арифметические действия используют при делении в столбик
Чтобы освоить этот метод, ученик должен уметь складывать, вычитать и сравнивать числа. Также необходимо назубок знать таблицу умножения.
При делении операция сравнения выполняется многократно. С ее помощью устанавливают, сколько раз делитель может уместиться в разных неполных делимых.
Вычитание — одно из основных арифметических действий, необходимых для деления столбиком. После того как сделана оценка, сколько раз делитель может поместиться в очередном неполном делимом, выполняется умножение делителя на полученное число и найденное произведение вычитается из соответствующего неполного делимого. Эта комбинация действий повторяется до тех пор, пока не будет достигнуто остаточное число, которое оказывается меньше делителя.
Умножение — еще одно действие, без которого невозможно делить в столбик. Результат умножения служит основой для последующего вычитания.
Каждое из перечисленных арифметических действий многократно используется при делении столбиком.
Термины «делимое», «делитель», «частное», «неполное делимое»
Вспомним значения ключевых терминов арифметики.
Делимое — число, которое надо разделить.
Делитель — число, на которое делим.
Частное — число, являющееся результатом деления.
Неполное делимое — это получаемое из первых цифр делимого число, которое можно разделить на делитель.
Проще говоря, мы берем какую-то целую часть (делимое) и пытаемся понять, сколько частей определенного размера (делитель) в нем поместилось (частное).
Наглядно эти определения можно изобразить так:
| 21 | : | 7 | = | 3 |
| Делимое |
| Делитель |
| Частное |
Проиллюстрируем неполное делимое. Пусть нужно решить пример: «168:4 = ?»
Запишем деление в столбик:
|
| 1 | 6 | 8 | 4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
168 — это делимое, 4 — это делитель.
Сравниваем первую цифру числа 168 с заданным делителем.
|
| 1 | 6 | 8 | 4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
«1» мы не можем разделить на «4».
Сравниваем число, составленное из первых двух цифр числа 168, с делителем:
|
| 1 | 6 | 8 | 4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
«16» мы можем разделить на «4». Следовательно, «16» будет первым неполным частным.
Другой пример: разделим 812 на 3.
|
| 8 | 1 | 2 | 3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
«8» можно разделить на «3». Значит, «8» — первое неполное частное.
Как делить в столбик двузначные числа на однозначное
Продемонстрируем на примере. Разделим 63 на 3.
|
|
| 6 | 3 | 3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Сравниваем число, образованное первой цифрой числа 63, с делителем. 6>3, значит, мы можем разделить 6 на 3. Первое неполное делимое — это 6. Делим 6 на 3 и получаем 2. Это будет первая цифра частного:
|
|
| 6 | 3 | 3 |
|
|
|
|
|
|
| 2 |
|
|
Умножаем наш делитель 3 на полученное 2. Получаем 6. Записываем 6 под неполным делимым 6.
|
|
| 6 | 3 | 3 |
|
|
|
|
| 6 |
| 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Выполняем вычитание: 6 – 6 = 0. Нулевой остаток мы не пишем, а сносим следующую цифру и получаем новое неполное делимое 3.
|
|
| 6 | 3 | 3 |
|
|
|
|
| 6 |
| 2 |
|
|
|
|
|
| 3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Делим 3 на 3. Получаем 1. Записываем результат.
|
|
| 6 | 3 | 3 |
|
|
|
|
| 6 |
| 2 | 1 |
|
|
|
|
| 3 |
|
|
|
|
|
|
| 3 |
|
|
|
|
|
|
| 0 |
|
|
|
Ответ: 21.
Как делить в столбик трёхзначное число на однозначное
Рассмотрим пример: разделим 516 на 3.
|
| 5 | 1 | 6 | 3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Так как 5>3, то первым неполным делимым будет 5. Делим 5 на 3 и получаем 1.
|
| 5 | 1 | 6 | 3 |
|
|
|
|
|
|
| 1 |
|
|
Умножаем 1 на 3. Получаем 3. Записываем это число под первым неполным делимым 5.
|
| 5 | 1 | 6 | 3 |
|
|
|
| 3 |
|
| 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Находим остаток. Для этого выполняем вычитание 5 – 3 = 2.
|
| 5 | 1 | 6 | 3 |
|
|
|
| 3 |
|
| 1 |
|
|
|
| 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Остаток 2 меньше делителя 3. Для продолжения процесса записываем рядом с 2 следующую цифру числа 516.
|
| 5 | 1 | 6 | 3 |
|
|
|
| 3 |
|
| 1 |
|
|
|
| 2 | 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Получаем второе неполное делимое. Это будет 21. Выполняем деление 21 : 3 = 7. Это будет вторая цифра частного. Записываем 7 рядом с 1.
|
| 5 | 1 | 6 | 3 |
|
|
|
| 3 |
|
| 1 | 7 |
|
|
| 2 | 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Умножаем 3 на 7. Получаем 21. Записываем это число под неполным делимым 21, выполняем вычитание: 21 – 21 = 0. Остаток 0 можно не писать. Затем сносим последнюю цифру числа 516 и получаем последнее неполное делимое.
|
| 5 | 1 | 6 | 3 |
|
|
|
| 3 |
|
| 1 | 7 |
|
|
| 2 | 1 |
|
|
|
|
|
| 2 | 1 |
|
|
|
|
|
|
|
| 6 |
|
|
|
Делим 6 на 3. Получаем 2. Записываем это значение в частное.
|
| 5 | 1 | 6 | 3 |
|
|
|
| 3 |
|
| 1 | 7 | 2 |
|
| 2 | 1 |
|
|
|
|
|
| 2 | 1 |
|
|
|
|
|
|
|
| 6 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Умножаем 2 на делитель. Получаем 6. Записываем его под неполным делимым, вычитаем и находим остаток.
|
| 5 | 1 | 6 | 3 |
|
|
|
| 3 |
|
| 1 | 7 | 2 |
|
| 2 | 1 |
|
|
|
|
|
| 2 | 1 |
|
|
|
|
|
|
|
| 6 |
|
|
|
|
|
|
| 6 |
|
|
|
|
|
|
| 0 |
|
|
|
Полученный остаток равен нулю, следовательно, деление завершено. Ответ: 516:3 = 172.
Пример деления с нулем в частном
То, что в частном появился 0, никак не влияет на алгоритм. Продемонстрируем на примере. Разделим 412 на 2.
|
| 4 | 1 | 2 | 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Первая цифра делимого 4, и она меньше делителя. Следовательно, первым неполным делимым будет 4.
Делим первое неполное делимое на 2. Получаем 2. Записываем 2 в частное. Умножаем 2 на 2, получаем 4 и записываем под первым неполным делимым.
Выполняем вычитание: 4 – 4 = 0. Ноль в остатке не пишем и сносим следующую цифру.
|
| 4 | 1 | 2 | 2 |
|
|
|
| 4 |
|
| 2 |
|
|
|
|
| 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 — это новое неполное частное. Делим 1 на 2. получаем 0 и 1 в остатке. Записываем 0 в частное.
|
| 4 | 1 | 2 | 2 |
|
|
|
| 4 |
|
| 2 | 0 |
|
|
|
| 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Умножаем делитель на 0 и записываем результат под неполным делимым.
|
| 4 | 1 | 2 | 2 |
|
|
|
| 4 |
|
| 2 | 0 |
|
|
|
| 1 |
|
|
|
|
|
|
| 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Выполняем вычитание 1 – 0 = 1. Записываем остаток 1 и сносим следующую цифру делимого.
|
| 4 | 1 | 2 | 2 |
|
|
|
| 4 |
|
| 2 | 0 |
|
|
|
| 1 |
|
|
|
|
|
|
| 0 |
|
|
|
|
|
|
| 1 | 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Последнее неполное делимое – 12. Делим его на делитель и получаем 6. Это последняя цифра частного.
|
| 4 | 1 | 2 | 2 |
|
|
|
| 4 |
|
| 2 | 0 | 6 |
|
|
| 1 |
|
|
|
|
|
|
| 0 |
|
|
|
|
|
|
| 1 | 2 |
|
|
|
|
|
| 1 | 2 |
|
|
|
|
|
|
| 0 |
|
|
|
Ответ: 412 : 2 = 206.
Как можно сократить запись деления
Обычно для ускорения процесса и сокращения записи, как только получают остаток, который меньше делителя, сразу сносят следующую цифру делимого, а в частное записывают 0. В таком сокращенном виде предыдущий пример будет выглядеть следующим образом.
|
| 4 | 1 | 2 | 2 |
|
|
|
| 4 |
|
| 2 | 0 | 6 |
|
|
| 1 | 2 |
|
|
|
|
|
| 1 | 2 |
|
|
|
|
|
|
| 0 |
|
|
|
Если в «хвосте» числа присутствуют нули, но для сокращения записи их сразу записывают в «хвост» частного. Например:
| 5 | 1 | 8 | 0 | 0 | 7 |
|
|
|
| 4 | 9 |
|
|
| 7 | 4 | 0 | 0 |
|
| 2 | 8 |
|
|
|
|
|
|
|
| 2 | 8 |
|
|
|
|
|
|
|
|
| 0 |
|
|
|
|
|
|
Теперь разделим 637200 на 9:
| 6 | 3 | 7 | 2 | 0 | 0 | 9 |
|
|
|
|
| 6 | 3 |
|
|
|
| 7 | 0 | 8 | 0 | 0 |
|
|
| 7 | 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
| 7 | 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
| 0 |
|
|
|
|
|
|
|
Наличие нулей в середине числа тоже не должно смущать. Правила остаются теми же самыми:
| 1 | 0 | 0 | 0 | 2 | 3 |
|
|
|
|
| 9 |
|
|
| 3 | 3 | 3 | 4 |
|
| 1 | 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
| 9 |
|
|
|
|
|
|
|
|
| 1 | 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
| 9 |
|
|
|
|
|
|
|
|
| 1 | 2 |
|
|
|
|
|
|
|
| 1 | 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
| 0 |
|
|
|
|
Теперь сформулируем общий алгоритм деления столбиком.
- Шаг 1. Определить первое неполное делимое.
- Шаг 2. Записать результат деления неполного делимого на делитель в частное.
- Шаг 3. Умножить делитель на полученную цифру и записать результат под неполным делимым.
- Шаг 4. Найти результат от вычитания записанного числа из неполного делимого.
- Шаг 5. Сравнить полученный результат с делителем. Снести следующую цифру делимого, записав ее рядом с остатком. Сформировать следующее неполное делимое.
Повторять шаги 2-5 до тех пор, пока в делимом не закончатся цифры.
Заключение
Метод деления в столбик до сих пор широко применяется в повседневной жизни. Он нужен не только на экзаменах (если запрещено пользоваться калькулятором), но и в любых ситуациях, когда не слишком удобно пользоваться гаджетом.
Хорошие навыки деления позволяют быстро выполнять любую работу, связанную с вычислениями, не пользуясь калькуляторами и смартфонами. Кроме того, умение делить в столбик развивает логическое мышление, укрепляет уверенность в своих силах, снижает зависимость от гаджетов и даже защищает от развития деменции.