Как найти площадь треугольника

Прежде чем приводить формулы для площади, вспомним несколько основных понятий.

Треугольник можно назвать одной из простейших геометрических фигур. Он образуется, если соединить отрезками три точки, не лежащие на одной прямой. Эти отрезки называются сторонами треугольника, а точки, в которых сходятся две стороны, — вершинами.

Стороны и вершины относятся к основным элементам треугольника.

Очень часто вершины обозначают как А, В, С, а стороны как a = BC, b = AC, c = AB. Весь треугольник часто обозначают как Δ АВС (разумеется, для обозначения вершин можно использовать и любые другие буквы). В этой статье мы будем использовать обозначение Δ АВС.

Высотой (h) треугольника называют перпендикуляр, опущенный из вершины на противолежащую ей сторону, либо на ее продолжение (если треугольник тупоугольный). Так как в треугольнике 3 вершины, то и высот тоже 3.

Площадь треугольника Δ ABC (обозначается как S_ABC или просто S) — это число, показывающее, сколько единиц площади (квадратных метров, сантиметров и т.д.) содержится в фигуре. Кроме того, площадь треугольника — это та часть плоскости, которая окружена его тремя сторонами.

Формул вычисления площади несколько, и для успешной сдачи ОГЭ и ЕГЭ их следует выучить все. Кроме того, они сами подсказывают, как решается большинство задач, которые предлагаются на контрольных и экзаменах. В этом случае на решение будет затрачиваться минимальное количество времени.

Формулы запоминаются гораздо быстрее и надежнее, если их несколько раз записать. Такой прием помогает задействовать все виды памяти. Также во время заучивания рекомендуется делать чертежи, отмечая на треугольниках те элементы, с помощью которых рассчитывается S_ABC.

Рисование даже простейшего, совершенно очевидного чертежа создает визуализацию, которая является мощнейшим инструментом запоминания. Если при этом использовать цветные карандаши, фломастеры или маркеры, то информация будет еще быстрее и глубже врезаться в память.

Формула площади треугольника через сторону и высоту

Это самая простая формула. Согласно ей, чтобы найти площадь треугольника, нужно умножить длину стороны на длину высоты, опущенной на эту сторону, и разделить полученное произведение на 2.

Так, если высота h опущена на сторону a, то формулу можно записать следующим образом:

S = h • a / 2

Ее часто зачитывают как: «половина произведения основания на высоту».

Для запоминания удобно мысленно разрезать Δ АВС по высоте на части и достроить его до 4-угольника. Получается следующая картинка:

Теперь совершенно очевидно, что S_ABC составляет половину 4-угольника, которая равна АС • h.

Формула площади треугольника через две стороны и угол между ними

Если в треугольнике известны длины двух его сторон — a и b — и величина угла γ между ними, то найти его площадь S можно, сначала умножив длины сторон a и b друг на друга и на синус угла γ и затем разделив полученное произведение на 2:

S = (a • b • sin γ) / 2

Если известна только одна сторона a и все углы: α, β, γ — то можно воспользоваться следующей формулой:

S = a² • sin β • sin γ / (2 • sin α)

Площадь произвольного треугольника через три стороны. Формула Герона

Греческий математик Герон Александрийский вывел ее примерно в 60 г. н. э. В современной записи она выглядит следующим образом:

где p — это полупериметр, вычисляемый по формуле:

p = (a + b + c) / 2

Формулу Герона очень легко запомнить, так как в ней не используются ни синусы, ни косинусы углов. Но вычисления весьма громоздкие.

Через радиус описанной окружности

Если известен радиус описанной окружности R и длины сторон, то для вычисления площади удобно пользоваться следующей формулой:

S = a • b • c /(4 • R)

Через радиус вписанной окружности

Площадь треугольника через радиус r вписанной окружности выражается следующим образом:

S = r • (a + b + c) / 2

А так как (a + b + c) / 2 — это полупериметр, то можно записать в более компактном виде:

S = r • p

Через сторону и два прилежащих к ней угла

Для случая, когда известна одна сторона и два прилежащих к ней угла, имеем следующую формулу:

S = a² • sin β • sin γ / (2 • sin (β + γ))

Итак, мы имеем три очень полезные и похожие друг на друга формулы для вычисления площадей через длины сторон и значения углов:

• S = (a • b • sin γ) / 2

• S = a² • sin β • sin γ / (2 • sin α)

• S = a² • sin β • sin γ / (2 • sin (β + γ))

Частные случаи

Для равнобедренных треугольников формулы, позволяющие найти площадь, приобретают следующий вид:

S = a² • sin β / 2

S = a • b • sin α / 2

S =b² / (4 • tg (β / 2)

Для вычисления через радиус описанной окружности имеем:

S = a² • b / (4 • R)

Площадь треугольника, все стороны которого имеют одинаковую длину, можно вычислить следующим образом:

Вычисления через радиус описанной окружности приобретают вид:

S = a³ / (4 • R)

Умение быстро вычислять площадь треугольника необходимо для успешной сдачи ОГЭ и ЕГЭ базового уровня. Среди вариантов контрольных и экзаменов попадаются задачи следующего типа.

Пример №1. Найдите площадь треугольника АВС, одна сторона которого равна 8 см, другая — 14 см, а угол между ними равен 30°.

Решение будет следующим:

1. S = 8 • 14 • sin (30°) / 2,
2. S = 8 • 14 • 0.5 / 2,
3. S = 28 кв. см.

Пример №2. Найдите площадь треугольника АВС, если одна из его сторон равна 20 см, а высота, проведенная к этой стороне, равна 40 см.

Решение:

1. S = 20 • 40 / 2,
2. S = 400 кв. см.

Пример №3. Определите площадь прямоугольного треугольника ΔАВС, один катет которого равен 15 см, а другой — 30 см.

Решение:

1. Вспоминаем, что катет одновременно является и высотой, поэтому площадь данного треугольника будет равна S = 15 • 30 / 2,
2. S = 225 кв. см.

Пример №4. В треугольнике АВС сторона a = 4 см, другая сторона b = 20 см. Высота, проведенная к первой стороне, равна 10 см. Найти длину высоты, проведенной ко второй стороне.

Решение:

1. В условии даны две стороны Δ АВС, но нет задания «найдите площадь Δ АВС». Но быстро решить задачу можно, как раз воспользовавшись тем, что 

S = h_a • a / 2 = h_b • b / 2,

2. Следовательно, h_b = h_a • a / b,
3. h_b = 4 • 10 / 20 = 2 см.

Пример №5. В прямоугольном треугольнике Δ АВС длина одного из катетов равна 8 см. Противолежащий этому катету угол равен 45°. Вычислите площадь треугольника Δ АВС.

Решение:

1. Зная один острый угол в прямоугольном треугольнике, мы можем вычислить второй. Он будет равен 180° - 90° - 45° = 45°. Следовательно, данный прямоугольный Δ АВС является равнобедренным, что существенно упрощает вычисления,
2. S = 8 • 8 / 2,
3. S = 32 кв. см.

Пример №6. В прямоугольном треугольнике Δ АВС катет имеет длину 7 см, а гипотенуза — 25 см. Найти S_ABC.

Решение:

1. Длину второго катета найдем с помощью теоремы Пифагора. b² + 7² = 25²,
2. b = 24,
3. Теперь находим S_ABC.  S_ABC = 7 • 24 / 2 = 84 кв. см.

Пример №7. В прямоугольном Δ АВС катет а = 7 см, катет b = 24. Определить длину высоты, проведенной к гипотенузе.

Решение:

1. Здесь тоже нет задания искать S_ABC. Но решить задачу нам поможет формула S = h_с • с / 2. Чтобы ей воспользоваться, сначала определим длину гипотенузы, вспомнив теорему Пифагора. c² = a² + b²,

2. c² =7² + 24² = 625,

3. c = 25 см,

4. Теперь нам на помощь придут формулы площади треугольника: S = h_с • с / 2 и S = a • b / 2. Из них получаем h_с • с / 2 = a • b / 2,

5. h_с = a • b / c = 7 • 24 / 25,

6. h_с = 6,72 см.