Квадратные уравнения: алгоритмы решения

Квадратными называются уравнения, имеющие вид:

ax² + bx + c = 0,

где коэффициенты a, b, c — действительные числа, и a ≠ 0 (остальные коэффициенты могут быть нулевыми).

Термин «квадратные» указывает на тот факт, что в уравнении содержится переменная, возведенная во вторую степень (то есть «переменная в квадрате»), а более высоких степеней в уравнении нет.

Обратите внимание, что уравнения ax² + c = 0 и x² = 0 являются квадратными, но уравнение ax² + c/х = 0 квадратным не является.

Квадратное уравнение обязательно содержит переменную в квадрате и может (но необязательно) содержать переменную в первой степени. Например:

1. 25x² + 17x + 2 = 0.

2. -26x² + 8x -7 = 0.

3. 6x² + 7 = 0.

4. x² = 0.

Основные понятия квадратных уравнений

В уравнении ax² + bx + c = 0 коэффициент а называется старшим, b — вторым, с — свободным членом.

Например, для квадратного уравнения 15x² – (2/3)x - 8 = 0 имеем:

• старший коэффициент а = 15;

• второй b = -2/3;

• свободный член с = 8.

Если в записи квадратного уравнения на первой позиции стоит член, содержащий переменную в квадрате, на второй — член, содержащий переменную в первой степени, на третьей — свободный член, то такая запись называется стандартной формой. Например:

1. 7x² + 8x + 2 = 0 — стандартная форма.

2. 8x + 7x² + 2 = 0 — не является стандартной формой.

3. 8x + 2 = 7x² — не является стандартной формой.

4. (х – 2)(х + 8) = 0 — не является стандартной формой.

В реальных задачах квадратные уравнения могут записываться в самых разнообразных формах.

Если старший коэффициент равен единице (а = 1), то уравнение называется приведенным. Если а ≠ 1, то неприведенным.

Квадратные уравнения, все коэффициенты которых ненулевые, называются полными. Уравнения, в которых b или с равны нулю — неполные.

x² + x + 2 = 0; -78 x² + 15x – 2/3 = 0 — полные уравнения.

x² + 2 = 0; -5x² + x = 0 — неполные.

Корнями (или нулями) квадратного уравнения называются значения переменной, при подстановке которых в уравнение оно превращается в истинное равенство.

Квадратное уравнение может иметь два разных корня х₁ ≠ х₂, либо один корень х₁ = х₂, либо оно может не иметь ни одного корня.

Величина D = b² – 4ac называется дискриминантом квадратного трехчлена ax² + bx + c. Значение этой величины показывает, сколько корней имеет уравнение:

• D > 0 — два корня (х₁ ≠ х₂);

• D = 0 — один корень (х₁ = х₂);

• D < 0 — корней нет.

Решение квадратных уравнений с помощью формулы корней

Квадратные уравнения удобно решать с помощью общего алгоритма. Для этого сначала нужно вычислить D, а затем найти корни, используя формулу:

х_{1, 2} = [-b ± √D] / (2•a).

Воспользуемся этим алгоритмом для решения такого квадратного уравнения:

2х² + 7х + 5=0.

Вычисляем D:

1. D = 7² - 4•2•5 = 9.

2. √D = √9 = 3

3. х₁ = (-7+ 3) / (2•2) = -1.

4. x₂ = (-7- 3) / (2•2) = -2,5.

Ответ: х₁ =-1 ; x₂ =-2,5.

Способы решения неполных квадратных уравнений

Для решения неполных квадратных уравнений можно пользоваться более удобным способом, не требующим вычислять D.

Неполные квадратные уравнения могут быть следующих типов:

1. ах² = 0.

2. ах² + c = 0.

3. ах² + bx = 0.

Рассмотрим каждый из этих типов.

ах² = 0. Квадратные уравнения такого вида имеют очевидное решение: х₁ = x₂ = 0

ах² + c = 0. Для решения такого квадратного уравнения нужно выполнить следующее несложное преобразование:

х² = -с/а.

Очевидно, что при -с/а < 0 решений нет, а при -с/а >0 корни можно получить по формуле х_{1, 2} = ±√(-с/а).

Продемонстрируем на примере:

2х² + 5 = 0.

Преобразовываем:

х² = -5/2 < 0.

Ответ: решений нет.

Другой пример:

1. 2х² - 18 = 0.

2. х² = - (-18/2) = 9.

3. х_{1, 2} = ±√9 = ±3.

Ответ: х₁ = 3, х₂ = -3.

Теперь рассмотрим третий тип: ах² + bx = 0. Вынесем в левой части общий множитель за скобки: х(ах + b) = 0. Получаем два очевидных корня: х₁ = 0 и х₂ = - b/а.

Решим пример: 0,4х² +8х = 0.

Выносим х за скобки и получаем:

х(0,4х + 8) = 0.

Следовательно: х₁ = 0, и х₂ = -8 / 0,4 = -20.

Ответ: х₁ = 0, х₂ = -20.

Если коэффициенты а, b, с обладают рядом свойств, то для таких случаев тоже существуют сокращенные способы поиска корней. Так, если а + b + с = 0, то х₁ = 1, а х₂ = с/а.

Это любопытное свойство легко выводится, если использовать основную формулу. Проделаем эти несложные преобразования.

Так как а + b + с = 0, то мы можем записать: с = -а – b.

Учитываем это равенство, запишем D:

D = b² – 4ac = b² – 4a (-a – b) = b² + 4a² + 4b = (2a+b)².

Следовательно:

√ D =±(2а + b).

Теперь находим корни:

1. х₁ = (-b +√ D) / (2а) = (-b + 2а + b)/(2а) = 2а/(2а) = 1.

2. х₂ = (-b -√ D) / (2а) = (-b – 2а – b)/(2а) = (-2b – 2а)/(2а) = 2(-а – b)/(2а) = с/а.

Знание этого свойства значительно упрощает вычисления.

Решим пример: 41х² + 65х – 106 = 0. Если применять общую формулу, то придется иметь дело с громоздкими вычислениями. Но если заметить, что 41 + 65 – 106 = 0, то можно сразу записать ответ: х₁ = 1, х₂ = -106/41.

Если выполняется а + с = b, то имеем х = -1, х₂ = -с/а. Это свойство тоже помогает избежать утомительных вычислений, особенно если числа большие.

Например: 225х² + 869х + 1094 = 0. Так как 225 + 469 = 1094, мы можем сразу же записать ответ: х₁ = -1, х₂ =-1094/225.

Решение квадратных уравнений с помощью теоремы Виета

Эта теорема тоже позволяет быстро находить корни, не вычисляя D. Ее особенно удобно использовать для приведенных случаев, когда а = 1.

Теорема утверждает, что для корней ax² + bx + c = 0 справедливо следующее:

• х₁ + х₂ = - b/а;

• х₁х₂ = с/а.

Если а = 1, то эти формулы записываются кратко:

• х₁ + х₂ = - b;

• х₁х₂ = с.

Удобство формул Виета состоит в том, что когда а, b, с не слишком велики, то с помощью теоремы легко можно угадать корни. Если же коэффициенты громоздкие, то решать систему линейных уравнений проще, чем возиться с дискриминантом. Конечно, в эпоху мощных компьютеров упрощение вычислений не кажется актуальным, но тем не менее эти формулы важны, и знать их необходимо.

Продемонстрируем пользу формул на примерах. Решим:

х² – х – 42 = 0.

Легко видеть, что 7• (-6) = 42, и что 7 + (-6) = 1. Следовательно, это и есть искомые корни.

Ответ: х₁ = 7, х₂ = -6.