Теорема Виета демонстрирует связь между коэффициентами уравнения и его корнями. Школьники изучают эту теорему для квадратного уравнения, но для уравнений более высоких степеней существует свой вариант теоремы Виета.
Основные понятия
Напомним несколько базовых понятий, которые необходимы, чтобы понять теорему Виета.
Уравнение называется квадратным, если оно обязательно содержит переменную во второй степени (квадрате), а также может содержать переменную в первой и нулевой степени. Переменную в других степенях квадратное уравнение не содержит.
В общем случае квадратное уравнение записывается в виде:
ax2 + bx + c = 0.
Где a, b, c, — коэффициенты, причем старший коэффициент не равен нулю (а ≠ 0).
Если старший коэффициент единичный (а = 1), то уравнение приобретает вид: x 2 + px + q = 0. Такое квадратное уравнение является приведенным.
Каждому уравнению сопоставляется характеристика — дискриминант (обычно обозначается как D) — определяющая количество решений (корней), которые являются действительными числами. D вычисляется по формуле: D = b2 – 4ac.
Термин «дискриминант» происходит от латинского слова «discriminare», означающего «разделять». D действительно разделяет уравнения на классы («дискриминирует») в зависимости от количества решений в действительных числах:
- D > 0 — два корня уравнения;
- D < 0 — нет корня уравнения;
- D = 0 — один корень уравнения.
Формулы теоремы Виета
Формулами называют две формулы, связывающие решения уравнения и его коэффициенты:
х1 + х2 = -b/a;
х1 • х2 = c/a.
Где х1 и х2 являются корнями квадратного уравнения ax2 + bx + c = 0.
Для приведенного уравнения (x 2 + px + q = 0) сумма корней равна второму коэффициенту, взятому с противоположным знаком, а произведение корней равно свободному члену:
х1 + х2 = -р;
х1 • х2 = q.
Похожие формулы существуют и для уравнений более высоких степеней. Например, для кубического уравнения (ax3 + bx2 + cx + d = 0) они выглядят следующим образом:
х1 + х2 + х3 = -b/a;
х1х2 + х1х3 + х2х3 = с/а;
х1х2х3 = - d/а.
Формулы, полученные из теоремы Виета, имеют множество применений. С их помощью особенно удобно решать следующие типы задач:
1. Требуется найти не сами корни уравнения, а их сумму или произведение.
2. Найти второй корень уравнения, если известен первый.
3. Выполнение проверки правильности полученных корней — вычислить сумму и произведение х1 и х2 значительно проще, чем подставлять их в исходное уравнение ax2 + bx + c = 0.
Проиллюстрируем это на следующих примерах, которые часто попадаются на контрольных и экзаменах.
№1. Дано 291х2 +286 х – 5 = 0. Каково произведение корней квадратного уравнения и чему равна сумма?
Решение
Чтобы найти значения х1 и х2 с использованием формулы корней, нам придется проделать очень громоздкие вычисления. Но нам известны коэффициенты, следовательно, для решения данной задачи точные значения корней квадратного уравнения х1 и х2 нам не требуются. Сумма этих корней равна -286/291, а произведение равно -5/291.
Ответ: х1 + х2 = -286/291; х1 • х2 = -5/291.
№2. Дано уравнение 78х2 +151 х – 10 = 0. Известно, что число -2 является корнем уравнения. Чему равен второй корень этого уравнения?
Решение
Нам известно, что один корень данного уравнения равен х1 = -2. Используя значения коэффициентов, найдем х1 + х2. Эта сумма равна -151/78. Следовательно:
-2 + х2 = -151/78;
х2 = 2-151/78;
х2 = 5/78.
Теорема Виета
Сформулируем теорему Виета для корней квадратного уравнения ax2 + bx + c = 0.
Сумма корней равна частному второго и первого коэффициентов, взятого с противоположным знаком: х1 + х2 = -b/a. Произведение корней равно частному третьего и первого коэффициентов: х1 • х2 = c/a.
Для приведенного уравнения x 2 + px + q = 0 сумма корней равна второму коэффициенту, взятому с противоположным знаком: х1 + х2 =-р. Произведение корней равно свободному члену: х1 • х2 = q.
Теорема в некоторых случаях помогает быстро угадывать решения, производя лишь простейшие вычисления без извлечения квадратных корней. Продемонстрируем это на примере приведенного и неприведенного уравнений.
Пусть требуется решить уравнение х2 – х – 12 = 0. Согласно теореме, сумма корней равна 1. Произведение его корней равно коэффициенту -12.
х1 + х2 = 1;
х1 * х2 = -12.
Мы видим, что сумма корней равна положительному числу, а произведение — отрицательному. Нетрудно сообразить, что в данном случае корнями являются числа разных знаков — в противном случае свободный член не может быть меньше нуля.
Числа, удовлетворяющие обоим равенствам, подбираются очень легко. Очевидно, что х1 = 4 и х2 = -3 являются корнями уравнения.
Теперь проделаем подбор корней квадратного уравнения, у которого старший коэффициент не равен единице. Пусть нужно найти корни уравнения 2х2 – 7х + 6 = 0.
В данном случае сумма корней равна 3,5, а произведение корней имеет значение 3.
х1 + х2 = -(-7)/2 = 3,5;
х1 х2 = 6/2 = 3.
Сумма и произведение положительны, следовательно, корнями являются положительные числа. Легко догадаться, что это 1,5 и 2.
Доказательство теоремы
Проведем доказательство теоремы сначала для приведенного уравнения:
x 2 + px + q = 0.
Дискриминант имеет вид: D = p2 – 4q.
Корни уравнения имеют вид:
x1 = (-p + √D)/2;
x2 = (-p - √D)/2.
Следовательно, сумма корней равна:
х1 + х2 = (-p + √D)/2 + (-p - √D)/2.
Складываем два дроби с одинаковым знаменателем:
х1 + х2 = (-p + √D + -p - √D)/2.
Приводим подобные члены и получаем сумму корней:
х1 + х2 = -2р/2 = р.
Мы доказали, что х1 + х2 = р.
Теперь выполним похожие рассуждения для произведения:
х1 х2 = ((-p + √D)/2) • ((-p - √D)/2).
Перемножаем числитель и знаменатели этих двух дробей:
х1 х2 = (-p + √D) • (-p - √D)/4.
Раскрываем скобки в числителе, используя формулу сокращенного умножения (х – у)•(х + у) = х2 + у2, также не забываем, что (√D)2 = D и (-р)•(-р) = р2:
х1 х2 =(р2 – D) / 4.
Вместо D подставляем выражение p2 – 4q и получаем:
х1 х2 =( р2 – (p2 – 4q)) / 4.
Раскрываем в числителе скобки:
х1 х2 = ( р2 – p2 + 4q) / 4 = 4q/4 = q.
Мы доказали, что х1 х2 = q.
Доказательство для уравнения общего вида ax2 + bx + c = 0 проводится практически аналогично. Это можно сделать двумя способами:
1. Разделить все члены на старший коэффициент. Тогда уравнение превратится в приведенное x2 + (b/а)•x + c/а = 0. Для приведенного уравнения теорема уже доказана.
2. Найти произведение и сумму корней, используя формулу корней.
Проведем доказательство вторым способом.
Если наше уравнение имеет вид ax2 + bx + c = 0, то D будет рассчитываться по формуле D = b2 – 4ac.
Корнями квадратного уравнения являются:
x1 = (-b + √D)/(2а);
x2 = (-b - √D)/(2а).
Сумма корней рассчитывается следующим образом:
х1 + х2 = (-b + √D)/(2а) + (-b - √D)/(2а).
Знаменатель у этих двух дробей одинаковый. Выполняем сложение:
х1 + х2 = ((-b + √D)+ (-b - √D))/(2а).
Раскрываем скобки и приводим подобные члены:
х1 + х2 = (-b + √D - b - √D)/(2а) = -2b/(2a) = -b/a.
Мы доказали, что х1 + х2 = -b/a.
Теперь анализируем произведение корней:
х1 х2 =((-b + √D)/(2a))• ((-b - √D)/(2a)).
Перемножаем числитель и знаменатели этих двух дробей и применяем формулу сокращенного умножения:
х1 х2 =(- b + √D)• (-b - √D)/(4а2) = (b2 – D)/(4a2).
Вместо D подставляем b2 – 4ac и получаем следующее:
х1 х2 = (b2 – (b2 – 4ac)) / (4a2) = (b2 – b2 + 4ac)) / (4a2) = 4ac/(4a2).
После сокращения на 4а окончательно получаем:
х1 х2 = с/а.
Примеры и задачи
Часто использование этой теоремы превращает сложные на вид задачи в очень простые.
Пример 1
Дано уравнение 2х2 – 21х + 55 = 0. Вычислить значение (х12 + х22)/(х12х2 + х1х22).
Решение
Нам известно, что сумма корней уравнения равна х1 + х2 = 21/2 = 10,5, а произведение корней будет равно х1 • х2 = 55/2 = 27,5. Теперь выполним несложные преобразования:
х12 + х22 = ( х1 + х2)2 - 2 х1 • х2 = 10,52 - 2•27,5 = 55,25.
(х12х2 + х1х22) = х1 • х2 • ( х1 + х2) = 27,5•10,5 = 288,75.
Записываем искомую величину:
(х12 + х22)/(х12х2 + х1х22) = 55,25 / 288,75 = 221/1155.
Рассмотрим аналогичный пример. Пусть дано х2 + 7х + 2 = 0. Найти значение 14 / (1/х1 + 1/х2).
Сумма корней уравнения равна х1 + х2 = -7.
Произведение корней будет равно х1 • х2 = 2.
Проделываем преобразования и используем значения суммы и произведения:
(1/х1 + 1/х2) = (х1 + х2) / (х1 • х2) = -7/2 = -3,5.
14 / (1/х1 + 1/х2) = 14 / (-3,5) = -4.
Пример 2
Рассмотрим следующую интересную задачу.
Дано уравнение ax2 + bx + 2 = 0. Известно, что а < 0, и что число 3 является корнем уравнения. На основе этих данных требуется решить уравнение ax4 + bx2 + 2 = 0.
Решение
На первый взгляд задача кажется очень замысловатой. Но с помощью теоремы Виета она решается быстро и просто.
Запишем произведение корней для ax2 + bx + 2 = 0:
х1 х2 = 2/а.
Нам известно, что х1 = 3. Подставим это значение:
3 х2 = 2/а.
Следовательно, х2 = 2/(3а). По условию, а < 0. Это значит, что и х2 < 0.
Теперь введем обозначение t = x2 и запишем второе уравнение (ax4 + bx2 + 2 = 0) в следующем виде:
at2 + bt + 2 = 0.
Эта запись полностью идентична исходной. Таким образом получается, что t1 = 3 и t2 =2/(3а) < 0. Но t = x2, поэтому отрицательное значение для него не подходит. Отбрасываем его. У нас остается t = 3. Выполняем обратную подстановку:
t = x2 = 3.
Отсюда получаем ответ: х1 = √3 и х2 = √3.
Обратная теорема Виета
Не у каждой теоремы имеется обратная, но у теоремы Виета она есть. Сформулируем ее.
Пусть есть набор чисел: a, b, c, x1, x2. Если для них справедливы следующие равенства: х1 + х2 = - b/а и х1 • х2 = с/а, то числа х1 и х2 являются корнями уравнения ax2 + bx + c = 0.
Доказательство обратной теоремы
Чтобы доказать, рассмотрим сумму:
х1 + х2 = - b/а.
Выразим из нее х2:
х2 = - b/а – х1.
Подставим его в х1 • х2 = с/а. Получаем:
(- b/а – х1) • х1 = с/а.
Раскрываем скобки и переносим все члены в одну сторону:
х12 + (b/а) • х1 + с/а = 0.
Умножаем все члены на а и получаем ax1 2 + bx1 + c = 0. Это значит, что х1 является корнем уравнения.
Точно такие же рассуждения и преобразования проделываются для х2.
Пример использования обратной теоремы Виета
Обратная теорема дает эффективный инструмент для быстрого поиска решений и проверки их правильности.
Например, рассмотрим уравнение х2 – 3,5х + 2,5 = 0. Очевидно, что для нахождения решения придется проделать довольно громоздкие вычисления. Но первый корень уравнения угадывается сразу: х1 = 1. Второй корень в данном случае удобно искать с помощью обратной теоремы. Записываем:
х1 • х2 =2,5;
х2 =2,5.
Ответ найден: х1 = 1; х2 =2,5.
Особенно полезно использовать обратную теорему для быстрой проверки решения на экзаменах. С ее помощью вычисления можно практически мгновенно производить в уме, не тратя драгоценное время.
Другой пример. Нужно решить уравнение х2 – 41х + 117 = 0. Предстоят громоздкие вычисления. Но у вас мелькнула догадка, что 39 + 3 = 41. Возможно, это и есть корни. Проверить это можно, либо подставив эти числа вместо х (что довольно трудно), либо проверить с использованием обратной теоремы. Действительно, получаем: 39•3 = 117. Ответ найден: х1 = 39: х2 = 3.
Удобнее всего пользоваться этим методом в том случае, когда один из корней равен единице, а все остальные числа большие. Например: х2 – 7288х + 7287 = 0. Если решать обычным способом, то придется потратить много времени, даже используя калькулятор. А с помощью обратной теоремы решения определяются моментально: х1 = 1; х2 = 7287.
Твердое знание теоремы Виета выручает и в тех случаях, когда необходимость проверки возникает в ходе решения какой-то большой и сложной задачи. Допустим, при решении задачи по геометрии или физике возникла необходимость узнать, является ли пара чисел 17 и 15 корнями уравнения х2 – 34х + 285 = 0. Проверка выполняется элементарно:
17+15 = 32 ≠ 34.
Следовательно, данная пара чисел не может быть корнями этого уравнения. (Замечание. Когда речь идет только об одном корне, то такой метод не работает.)
Вообще, для экзаменов удобно запомнить следующее свойство: если уравнение имеет вид: x2 – (b + 1)x + b = 0, то его корнями будут х1 = b; x2 = 1.
Есть еще одно чрезвычайно полезное и простое свойство: если числа х1 и х2 являются корнями квадратного уравнения, то это уравнение имеет вид: х2 – (х1 + х2)х + х1х2 = 0.
С помощью этого свойства можно мгновенно составлять уравнения по заданным корням, если возникает такая необходимость. Пусть, например, требуется составить уравнение с набором корней х1 = 81 и х2 = 3. Сразу же записываем:
х2 – (81 + 3)х + 81•3 = 0;
х2 – 84х + 243 = 0.
Конечно, для решения такой задачи можно записать (х – 81) (х – 3) = 0, а потом раскрыть скобки. Этот метод тоже абсолютно правильный, но он отнимает чуть больше времени.
Также прямая и обратная теоремы ускоряют решение целого ряда задач, которые часто встречаются на экзаменах. Рассмотрим наиболее типичные.
Задача №1. Дано 2х2 – 9х + 5 = 0. Найти сумму квадратов корней.
Решение
Приступая к решению таких задач, нужно сначала проверить, существуют ли у уравнения корни (ведь задача может оказаться «с подвохом»). Но вычислять дискриминант значительно проще, чем извлекать из него корень. Поэтому выполняем вычисления: D = 92 - 4•2•5 = 41 >0. Действительные корни у этого уравнения есть, но они иррациональные, и вычислять сумму их квадратов «в лоб» весьма затруднительно. Но мы воспользуемся формулой сокращенного умножения и теоремой Виета. Записываем:
(х1 + х2)2 = х12 + 2х1х2 + х22.
Выражаем отсюда искомую сумму квадратов и применяем теорему:
х12 + х22 = (х1 + х2)2 - 2х1х2;
х12 + х22 = (9/2)2 - 2•(5/2) = 15,25;
Ответ: х12 + х22 = 15,25.
Замечание. Следует подчеркнуть, что проверить существование действительных корней у квадратного уравнения можно только с помощью вычисления дискриминанта. Использовать теорему Виета для этой цели нельзя.
Задача №2. Дано х2 + 10х – 5 = 0. Составить квадратное уравнение, корни которого обратны корням данного.
Решение
Если х1 и х2 — корни уравнения х2 + 10х – 5 = 0, то от нас требуется составить такое ax2 + bx + c = 0, корнями которого являются числа 1/х1 и 1/х2.
Вычисляем дискриминант для исходного уравнения: D = 102 - 4•10•(-5) = 120. Корни у него есть, и они иррациональны. Решать «в лоб» очень неудобно — придется проделать массу преобразований, чтобы получить ответ в компактной форме.
Пусть числа у1 = 1/х1 и у2 = 1/х2 являются корнями искомого уравнения. Тогда само оно должно иметь вид:
х2 – (у1 + у2)х +у1у2 = 0, то есть
х2 – (1/х1 + 1/х2)х +(1/х1)•(1/ х2 ) = 0.
Выполним сложение дробей:
1/х1 + 1/х2 = (х1 + х2) / (х1 • х2).
Согласно условию задачи и теореме, имеем: х1 + х2 = -10 и х1 • х2 = -5. Подставляем эти значения и получаем:
1/х1 + 1/х2 = -10/(-5) = 2.
Теперь выполняем произведение дробей:
(1/х1)•(1/ х2 ) = 1/( х1 • х2) = -1/5 = -0,2.
Подставляем полученные значения в искомое уравнение:
х2 – (1/х1 + 1/х2)х +(1/х1)•(1/ х2 ) = 0.
х2 – 2х – 0,2 = 0.