Энергия — это одно из основных понятий физики и целого ряда других наук. Она является «движущей силой» любых форм движения.
Впервые термин «ἐνέργεια» был введен Аристотелем. Ученым потребовалось почти две тысячи лет, чтобы осознать связь между различными формами энергии и вывести закон ее сохранения.
Формулировка закона сохранения энергии простыми словами в механике
Под энергией понимается способность совершать работу. Существует много различных форм энергии: механическая, тепловая, химическая, световая, электрическая, ядерная. Единицей измерения всех этих видов энергии является Джоуль. Существуют и другие единицы измерения, например электронвольт, эквивалент барреля нефти и т.д. Они используются в тех областях науки и экономики, в которых это удобнее всего.
Энергия существует не в застывшем виде. Она может переходить из одной формы в другую. Закон сохранения энергии утверждает, что суммарное количество всех форм энергии остается постоянным.
Этот закон справедлив везде и всегда. Если мы рассматриваем замкнутую механическую систему, то в ней будет сохраняться механическая энергия.
Согласно закону сохранения энергии, исчезнуть или появиться ниоткуда энергия не способна. Она может переходить из одной формы в другую, но сумма всех форм энергии, присутствующих в замкнутой системе, будет оставаться неизменной.
Когда мы говорим о механической системе, то чаще всего учитываем только кинетическую и потенциальную энергии, а внутренней энергией тел пренебрегаем.
Закон сохранения механической энергии можно сформулировать следующим образом: полная механическая энергия сохраняется в замкнутой системе, в которой действуют консервативные силы.
Сила называется консервативной, если ее работа зависит только от начальной и конечной точки приложения этой силы и не зависит от траектории движения, во время которого совершалась работа этой силы.
Напомним, что система называется замкнутой, если входящие в нее тела взаимодействуют только друг с другом. Очевидно, что такая система является идеализацией.
Формула закона сохранения энергии
Е = Ек + Еп = const
где
Ек — кинетическая энергия;
Еп — потенциальная энергия.
Эта формула показывает, что если уменьшается Еп системы, то на столько же возрастает Ек, и наоборот.
Иногда можно слышать вопрос: не нарушает ли воздушный шар этот закон? Действительно, до взлета шара Ек и Еп всего, что находится в его гондоле, равны нулю. Но стоит только отпустить шар, как обе эти энергии начинают стремительно расти (особенно потенциальная). Нет ли тут противоречия? Разумеется, нет. Закон сохранения работает в полной мере. Просто воздушный шар не является замкнутой системой. Во время его подъема работает множество сил, совершаются химические реакции, и полная энергия системы «Земля, атмосфера, воздушный шар с его грузом» остается неизменной.
История открытия закона сохранения энергии
Ученые на протяжении столетий изучали движение и взаимодействие различных тел. Поэтому можно сказать, что в открытии закона сохранения энергии принимали участие сотни людей, живших в разное время и в разных странах.
Дать описание сохранения энергии в виде формулы впервые попытался Рене Декарт в своем главном трактате «Первоначала философии», вышедшем в 1644 году. Декарт указывал, что при столкновении двух тел одно отдает другому ровно столько движения, сколько это тело у него отнимает. Затем Лейбниц, развивая мысли Декарта, пришел к понятию кинетической энергии. В его трудах она носила название «живой силы».
Термин «кинетическая энергия» впервые появился в середине XIX века в работах У. Томсона (лорда Кельвина). Примерно в то же время Ю. Р. Майер, Дж. П. Джоуль и Г. Гельмгольц исследовали принцип сохранения механической энергии в рамках своих работ, а затем распространили закон сохранения энергии на немеханические формы энергии.
Задачи на закон сохранения энергии
В экзаменационной программе довольно много задач на закон сохранения энергии. Рассмотрим несколько наиболее характерных примеров.
Задача №1. При удлинении на Δx =20 см пружина получила 10 Дж потенциальной энергии. Найти жесткость (k) пружины.
Решение
Воспользуемся известной формулой для потенциальной энергии растянутой пружины:
Eп = k •Δx2 / 2
Из этой формулы получаем искомое значение для коэффициента жесткости:
k = 2 • Eп / (Δx2 )
Производим вычисления, не забыв преобразовать сантиметры в метры:
k = 2 • 10 / (0,22) = 500 Н / м.
Задача №2. Тело массой m = 1 кг бросили вертикально вверх. Начальная скорость v1 = 5 м / с. Найти изменение потенциальной энергии Δ Eп тела в тот момент, когда его скорость станет равна 3 м / с.
Решение
В данном случае увеличение потенциальной энергии происходит за счет уменьшения кинетической. Следовательно, можем записать:
Δ Eп = m • (v1)2/ 2 - m • (v2)2 / 2;
Δ Eп = 1• 52 / 2 - 1• 32 / 2 = 8 Дж.
Задача №3. Санки сталкивают с горки, имеющей высоту h = 5 м. Начальная скорость санок v1 = 5 м / с. Определить, какую скорость v2 приобретут санки, скатившись с горки. Трением пренебречь. Значение g принять равным 10 м / с2.
Решение
Так как силу трения мы принимаем равной нулю, то можем использовать закон сохранения механической полной энергии Е = Ек + Еп = const.
Масса тела нам неизвестна, но ее значение для решения не понадобится. Записываем закон сохранения механической Е:
Е = Ек + Еп = m • (v1)2/ 2 + m • g • h = m • (v2)2
Сокращаем массу и получаем:
(v2)2 = (v1)2/ 2 + g • h;
v2 = ((v1)2 / 2 + g • h)1/2 = (52 / 2 + 10• 5)1/2 ≈ 7,91 м / с.
Задача №4. Пуля массой m = 8 г летит на высоте h = 1 м со скоростью v = 705 км / ч. Найти ее полную энергию. Значение g округлить до 10 м / с2.
Решение
Сначала нужно преобразовать скорость из «километров в час» в «метров в секунду».
v = 705• 1000 / 602 ≈ 195,83 м / с.
Массу выражаем в килограммах: m = 0,008 кг.
Теперь находим сумму потенциальной и кинетической энергии пули:
Е = Ек + Еп = m • (v)2/ 2 + m • g • h;
Е = 0,008• (195,83)2/ 2 + 0,008 • 10 • 1 = 153 Дж.
Задача №5. С какой высоты сорвалась шишка, если она ударилась о землю со скоростью v = 10 м / с. Сопротивлением воздуха пренебречь. Значение g округлить до 10 м / с2.
Решение
Висящая на ветке шишка обладает потенциальной энергией Еп = m • g • h. Когда шишка падает на землю, вся ее Еп переходит в кинетическую энергию Ек = m • (v1)2 / 2. Записываем равенство этих двух энергий:
m • g • h. = m • (v1)2/ 2;
h = (v1)2/ (2 • g) = 102 / (2 • 10) = 5 м.
Рассмотрим еще одну задачу. Ее решение часто вызывает сложности, хотя в ней используется все тот же закон Е = Ек + Еп = const. Нужно только аккуратно записать все формулы.
Задача №6. Шарик, имеющий массу m, бросают вниз с высоты h. Его начальная скорость имеет значение v0 и направлена под углом α = 45° к горизонту. Шарик падает на горизонтальную плоскость и упруго отскакивает от нее. На какую высоту h1 он поднимется? Соударение считать абсолютно упругим. Сопротивлением воздуха пренебречь.
Решение
На самом деле масса в данном случае является лишним параметром. В данных условиях она нам не понадобится.
Мы имеем идеализированные условия: движение шарика происходит как бы в вакууме, а соударение является абсолютно упругим, что существенно упрощает решение задачи.
Анализируем движение шарика. Он был брошен не вертикально вниз, поэтому его движение происходит как в вертикальном, так и в горизонтальном направлении. Причем по вертикали он двигается с постоянным ускорением g, а по горизонтали — с постоянной скоростью, которая равна проекции начальной скорости на горизонталь. То есть скорость горизонтального движения будет иметь значение v0 • cos α. Эта скорость будет сохранять неизменной на протяжении всего падения шарика.
Когда происходит абсолютно упругое соударение нашего шарика с находящейся на нулевом уровне плоскостью, его горизонтальная скорость сохраняет свое направление и значение v0 • cos α. При этом приобретенная вертикальная скорость изменяет свое направление на прямо противоположное, сохраняя свой модуль.
Таким образом, шарик отскакивает от плоскости с точно такой же по величине скоростью, с которой приземлился. При этом никаких энергетических потерь не происходит, так как по условию соударение является абсолютно упругим.
Когда шарик опять поднимется на некоторую высоту, то вертикальная составляющая его скорости превратится в ноль, а горизонтальная все так же будет сохранять свое значение v0 • cos α и направление.
Теперь переходим к анализу энергетического баланса. На протяжении всего движения будет выполняться Е = Ек + Еп = const. Это значит, что запас энергии, который шарик имел в самом начале, не изменится, в какой бы точке своей траектории шарик ни находился.
Когда шарик начинает свое движение, его полная механическая энергия может быть записана как
Е = m • g • h + m • (v0)2/ 2
Когда шарик отскочит и поднимется на высоту h1, у него останется только горизонтальная скорость v0 • cos α, а полная энергия не изменится. Следовательно, получаем равенство:
Е = m • g • h + m • (v0)2/ 2 = m • g • h1 + m • (v0 • cos α)2/ 2
Сокращаем массу и выражаем h1:
h1 = h + v02 • (1 – cos2 α) / (2 • g) = h + v02 • (sin2 α) / (2 • g)
По условию α = 45°, следовательно, sin2 α = sin2 45° = 1/2. Подставляем это значение в нашу формулу и получаем окончательный ответ:
h1 = h + v02 / (4 • g)
Как видим, кажущаяся сложной задача на самом деле очень проста. Нужно только внимательно анализировать параметры движения и помнить об особенностях изменения скоростей при упругих соударениях и движении в поле силы тяжести.